Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Лекция 10. Расстояние от точки до прямой. Различные виды
уравнения плоскости
Расстояние от точки до прямой Ax + By + C = 0, из рисунка видим
До в общее уравнение прямой подставить координаты точки, взять по абсо- 38 Лютной величине и разделить на модуль нормального вектора. Пример 1. Треугольник задан своими вершинами А(1,2); В(-2,1); С(3,2). Найти длину его высоты, опущенной из вершины А. Решение. B h = АК. Высоту найдём, как расстояние от точки A K до прямой ВС. Уравнение ВС: h = Пример 2. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми Решение.. M( приравняем, получим
В общем виде уравнения биссектрис углов между прямыми запишутся так:
Уравнение пучка прямых
Определение. Совокупность прямых, лежащих в плоскости и проходящих через одну точку называется пучком прямых с центром в этой точке. Пучок прямых можно задать уравнением с угловым коэффициентом: y-
Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения прямых 5x – y + 10 = 0 и 8x + 4y + 9 = 0 и параллельно прямой x + 3y = 0. Решение. Запишем уравнение пучка 5x – y+ 10 +
(5
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В 39 Векторное уравнение плоскости z . 0 -ние плоскости. x z Уравнение плоскости, проходящей через данную точку.
Общее уравнение плоскости . M 0
точку или уравнение связки плоскостей. Раскроем скобки в последнем уравнении Аx+By+Cz – (A Выражение в скобках обозначим через D, получим:
Неполные уравнения плоскости
В общем уравнении полагаем: 1). D = 0 Ax + By + Cz = 0, плоскость проходит через начало координат. z
x 0 y
2). A = 0 By + Cz + D = 0, плоскость параллельна оси ox. z o y x
A =D =0 By + Cz =0, плоскость проходит через ось ox. z o y z x 3). В = 0 А x + Cz + D = 0, плоскость параллельна оси оy. o y 40 x B =D = 0 Ax + Cz = 0, плоскость проходит через ось оy. z o y x
4). C = 0 Ax + By + D = 0, плоскость параллельна оси oz.
z
x o y
C = D =0 Ax + By = 0, плоскость проходит через ось oz. z o y x 5). А = В =0 С z + D = 0, плоскость параллельна координатной плоскости XOY. z
o y x 6). A =C = 0 By + D = 0, плоскость параллельна координатной плоскости XOZ. z o y x
7). B = C = 0 Ax + D = 0, плоскость параллельна координатной плоскости YOZ. z o y x 8). A =B = D = 0 Cz = 0 или z = 0, координатная плоскость XOY. z o y x
9). B =C = D = 0 Ax = 0 или x = 0, координатная плоскость YOZ. z o z x y
10). А = С = D = 0 By = 0 или y = 0, координатная плоскость XOZ. o y x 41
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OX и точку М(1,2,3). Решение. Уравнение плоскости имеет вид By + Cz = 0; найдём В и С. Подставим координаты точки в это уравнение 2В + 3С = 0
Уравнение плоскости в отрезках
Рассмотрим общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Перенесём D вправо и разделим на D:
отрезках, где a, b, c отрезки, которые плоскость отсекает от осей координат. Пример. Построить плоскость 2 x + 5 y – 10 = 0. Приведём это уравнение к уравнению в отрезках
o 2 y x 5
Лекция 11. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
1). Если
42 2). Если Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Решение. 3(x+2y) + 2(y-1) – 7(z-4) = 0. Пример 2. Через точку Решение. Уравнение плоскости находим по формуле уравнения плоскости, проходящей через точку, то есть А(x + 2) + B(y – 3) + C (z – 6)=0. Из рисунка вид-
мой плоскости перпендикулярен нормальным векторам данных плоскостей.
Уравнение плоскости, проходящей через 3 различные точки,не лежащие на одной прямой
. М . . . ведения ( динатах
3 – и точки. Пример. Получить уравнение плоскости, проходящей через три известные точки: Решение. Найдём координаты векторов
43
получаем (x-1)5 – (y+1)(-5) + z 5 =0 или 5x+5y +5z =0. Ответ. x+y+z =0.
Уравнение плоскости в нормальном виде z . M0. M (
o x
(
Расстояние от точки до плоскости Задача. Найти расстояние от точки . d
Q
Решение. Воспользуемся формулой, которую применим без доказательства: Пример. Найти расстояние от точки Решение. d =
44 Прямая в пространстве
Линию в пространстве рассматривают, как множество всех точек, принадлежащих двум пересекающимся поверхностям Например: окружность. Прямую линию получим при пересечении двух плоскостей.
Общее уравнение прямой в Это уравнение, заданное пересечением двух плоскостей:
Пример. Построить прямую Решение. Чтобы построить прямую, надо задать две точки, для этого найдём точки пересечения прямой с координатными плоскостями. 1). Z =0, 2). X = 0, Определение. Точка пересечения прямой с координатной плоскостью называется следом прямой. Z . М2
o. М1 y x
Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения
Пусть прямая L задана точкой M1
o y x 45 прямой.
Вектор Пример. Привести уравнение прямой к каноническому виду Решение
Уравнение прямой, проходящей через две точки
М2 y x прямой,проходящей через 2-е точки Пример1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку Решение. Уравнение прямой будем искать в каноническом виде:
46 дение нормальных векторов плоскостей, задающих прямую, то есть
| Поделиться:
| |
x0,y0) Пусть прямая задана общим уравнением
= 
= (
+(
∙ 
= 
; 
или π
(
= 
. В координатах 
= А(
+B(
= A 
, так как точка 
, то её координаты удовлетворяют уравнению прямой поэтому А 
или A 
, подставим. (
отсюда находим 
или
Вывод. Чтобы найти расстояние от точки до прямой, на-
= 
или x -5y+ 7 = 0.
= 
. Ответ. h = 
3x-4y-2=0 и 
5x +12y – 1= 0.
, 
, 
, 
= 
; 14x-112y-21=0 и 
64x + 8y – 21=0.
=k(x- 
, а можно с помощью двух прямых: 
и
. 
уравнение пучка прямых.
8x + 4y + 9) = 0.
, 
. Векторы 
параллельны, в координатах 
отсюда 15 + 24 
- 4 
= 
= 
x – (
.
⊥ 
→ (
Из рисунка 
M видно 
, поэтому 
y 
векторное урав- 
; M((x, y, z); 
{ A,B,C} 
⊥ 
→ 
В координатах: 
→ уравнение плоскости через
общее уравнение плоскости.
В = 
С подставляем в уравнение 
, сокращаем на С, окончательно 
, обозначим 
= b, уравнение примет вид: 
уравнение плоскости в 
На оси ox отложим отрезок x = 5, на оси oy отложим отрезок y = 2. z
Плоскости заданы общими уравнениями. 
и
= 
, то (
или в координатах
→условие перпендикулярности плоскостей.
, то 
в координатах 
→условие параллельности плоскостей.
параллельно плоскости 3x + 2y – 7z +8 = 0.
провести плоскость, перпендикулярную плоскостям 
⊥ 
, поэтому 
= 
= 13 
.
{ 13, -8, 1 }. Ответ. 
; 
;
М(x,y,z). Соединим эти точки векторами, усло- 
вие принадлежности 3-х векторов одной плоскос-
ти- равенство нулю их смешанного произ- 
или в коор- 
= 0 →уравнение плоскости, проходящей через
; 
; 
. Уравнение плоскости запишем в виде:
= 0, раскрываем определитель по элементам 1-й строки,
, 
, 
.
+
, 
, 
,y, z} 
, но (
= 
=прN 
= p 
, подставим в скалярное произведение и перейдём к координатам 
→нормальное уравнение плоскости, где величина р равна ортогональной проекции радиуса вектора фиксированной точки плоскости на единичный вектор нормали.
до плоскости Q: Ax+By+Cz+D=0.
(x1 ,y1,z1) 
→формула расстояния от точки до плоскости.
до плоскости 3x+4y+5z+3=0.
= 
. Ответ. d = 
и 
при пересечении сферы и плоскости получаем
→ общее уравнение прямой.
решаем эту систему, находим точку пересечения 
.
и направляющим вектором 
.
; 
, поэтому
, где t – скалярный параметр 
, 
, из рисунка видим
→ векторное уравнение 
; 
; t 
, в координатах векторное уравнение запишется так:
→ параметрические уравнения прямой.
= { x - 
в координатах 
→ канонические уравнения прямой
; 
, 
=
= 3 
. Чтобы найти точку на прямой, в общем уравнении положим z=0, 
, решив эту систему, получим 
и запишем каноническое уравнение 
. Ответ. 
. 
; 
; 
; 
→ уравнение
, параллельно прямой 
.
. Направляющий вектор 
= 23 
+ 13 
