Правило. Чтобы найти производную от неявной функции , нужно дифференцировать по X обе части уравнения с учётом , что y зависит от X по правилам дифференцирования сложной функции.

Пример.  Найти y’, если функция  y задана уравнением: xy² = .

Решение. ( xy²)’=(.  y² + 2xyy’ = y² + 2xyy’ =  ; сгруппируем члены, содержащие y’, получим   y’(2xy -   , отсюда y ’ =  

                                                                                                               

               Дифференцирование сложно - показательной функции

 

Определение.  Сложно – показательной функцией называется функция, у которой и основание и показатель степени являются функциями от x, например:

(sin x  ;  ; ; (   Обозначается y = [u(x) = .

 

Теорема.  Если  y = , то  .

Доказательство. Прологарифмируем функцию  y,  затем дифференцируем последнее равенство по правилу дифференцирования неявной функции (  →  из этого равенства выразим y’.

Y’ = y [ v’ ч.т.д.

  Пример1.  Найти y’, если y = (sin x

 Логарифмируем обе части равенства   ,  дифференцируем  = 2x  +  y’ = y [2x ]

 

                                                   84

Ответ. Y’ = (sin x 2x ].

Пример 2. Найти y’, если y =

Решение. Сначала найдём логарифм данной функции , дифференцируем обе части, получим

 y’ = y[ ]

Ответ. Y’ = [ ].

Приём для нахождения производной с применением логарифмирования называется логарифмическим дифференцированием, а выражение  - логарифмической производной.

                                Производные высших порядков

                                            

Так как f’(x) есть функция, то её можно снова дифференцировать.

Определение.  Производная от 1-ой производной функции называется производной 2-го порядка.

Определение.  Производной n-го порядка функции y = f(x) называется первая производная от производной (n-1) – го порядка. Обозначается:     y⁽ⁿ⁾, f⁽ⁿ⁾,             

F⁽ⁿ⁾(x) = [ f^(n-1)(x)]’.

Пример. Найти производную  -  четвёртого порядка для функции y = .

Решение.  Сначала найдём y’.

Y’ =  , y’’ = (  =- ; y’’’ = (-  = = ; y’’’’ =(.

Ответ.

                                    

                          Производная второго порядка от неявных функций                                                                                                                             

 

Рассмотрим на примере.

Пример. Найти производную второго порядка от функции y, заданной неявно

x =

Решение. Дифференцируем обе части равенства, предполагая, что y  сложно зависит от x.   1 = , выражаем отсюда y’, y’=  ещё раз дифференцируем  y’’ =  =  =  =

= .

 

 

                                                       85

Другой способ. Первый раз дифференцируем уравнение, задающее функцию,

получаем 1 =  , снова дифференцируем это равенство, 0 =  , отсюда выражаем y’’.   Y’’ = - (1+y’  , подставляем значение для y’, y’’ = - (1 +  = - ( = -                                                                                                             

 

                          

                    Механический смысл производной второго порядка

Пусть  s = f(t) – путь, пройденный материальной точкой за время t, v = v(t) – скорость за это время, точке t +  соответствует скорость    v₁(t+ ,  

 , ускорение

Определение.  Ускорением за время   t  называется предел среднего ускорения при  

Вывод. Ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.

 

                             Производные функций, заданных параметрически     

 

Пусть , а  имеют производные, причём t =  , тогда       y=  сложная функция, поэтому y’_x =  _{t x}, на основании теоремы о дифференцировании обратной функции запишем _x =  подставим в  y’_x = _t  =   .       .

 

 Чтобы найти вторую производную, воспользуемся формулой для первой производной, обозначим ,  .

Можно находить вторую производную по другой формуле

                        

Пример.  Найти вторую производную от функции  y, заданную параметрически

x = si  ; y = sin 2t

Решение. Найдём сначала y’_x. y’_x =  =  ; y’’_xx =  =

=  . Ответ.     y’’_xx =  

  

                                                       86