Лекция 24. Дифференциал функции.

 

Пусть функция  y = f (x) дифференцируема на некотором интервале, тогда  

Y’ =  по теореме (  о пределе функции, имеем

 → б.м.функция, при  ,

, f’(x)  поэтому f’(x)  - б.м. 1-го порядка малости относительно . Проверим, какого порядка малости  Найдём = , то есть  более высокого порядка малости, чем . 1- е слагаемое f’(x)  называется главной частью приращения функции.

Определение. Дифференциалом функции называется главная часть приращения функции, линейная относительно

Обозначается . Если y= f(x) = x, то y’_x = 1, а

Вывод.  Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной ,   рабочая формула.

Пример.  Найти дифференциал функции y = .

Решение.  f’(x) = ,  dy = dx.

 

        Приближённые вычисления с помощью дифференциала функции

Запишем приращение функции  y = f(x)  , так как последнее слагаемое более высокого порядка, то его отбросим и получим  или

F (x₀ + отсюда  - формула для приближённого вычисления с помощью дифференциала функции.

 Пример. Вычислить sin 46⁰.

 Решение.  Пусть   f(x) = sin x; f’(x) = cos x;   sin(x+

Примем   x₀ +  = 46⁰; x₀ =  , тогда ⁰ =  

Sin46⁰  = sin (  =  .

Ответ. Sin46⁰ .                                  

                               Свойства дифференциала функции

     Задача нахождения дифференциала функции сводится к нахождению производной функции, так как  , поэтому все свойства производной распространяются и на дифференциал:

1). d(u  

2). d(u  

 

                                                              87 

3). d(  .

Пример 1. Найти дифференциал функции y =  .

Решение. dy =

 

Пример 2. Найти дифференциал функции y, если sin(x+y) =  .

 

Решение. Функция  y  задана неявно, найдём сначала y’. Дифференцируем обе части равенства cos(x+y)(1+y’) =  отсюда выражаем y’.

 Y’ = =  , dy =  dx.

 

                        Инвариантность формы дифференциала функции

Если y = f(u)  , где  u = , y = f[  , то  = f’_u (u) →                 dy = f’_u        .

                du                

Вывод.  Форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента.

Пример. Найти дифференциал функции  y = sin  .

Решение. y = sinu, u = , dy = cosu .

 

                        Геометрическое значение дифференциала функции

                        y

                                                               M₁

                                                                 T                    

                                                                                     

                                       M                 N             

                                                                                                               x

                        0        x                   x+                                        

 

 

М(x,y); M ₁(x+ ; NT = MN tg

 NT = f’(x) →                                                                  

Вывод. Дифференциал функции f(x), соответствующий значениям  x  и   равен приращению ординаты касательной к кривой  y = f(x) в данной точке  x.

 

Замечание. В данном случае  но возможно и .   

 

 

                                                 88

                                            y                N

        

                                                        M₂ Т  

                                              М₁                                                               

                                                 0                                        x NT = dy                                                                                                                   

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

 

                               Дифференциалы высших порядков

 

Пусть   задана функция  y = f(x), дифференциал которой dy = f’(x) dx является в свою очередь также функцией от x.

Определение.  Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d²y.

d(dy) = d²y; d²y = [f’(x)dx]’dx, так как   dx = то d²y = [ f’(x) ]’  → d²y = f’’(x)  , принято записывать  (dx)² = dx², аналогично   d³y = f’’’(x)   ……

Пример. Найти дифференциал второго порядка для функции  y=

Решение. dy = (  =2  ; d²y = (2  

 

 

 

                                                89

                               С О Д Е Р Ж А Н И Е

Предисловие - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3                                                                                                                                                                

                                    Линейная алгебра            

Лекция 1. Определители, их свойства, вычисление - - - - - - - - - - - - - - - 4

Лекция 2. Понятие матрицы. Основные операции над матрицами. Собственные числа и собственные векторы матрицы - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  8

Лекция 3. Матричная запись и матричное решение системы уравнений 1-го порядка. Ранг матрицы - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12

Лекция 4. Общая теория решения систем уравнений - - - - - - - - - - - - - 16                                       

                           Элементы векторной алгебры

  Лекция 5. Понятие вектора. Основные операции над векторами - - - - - - -20

Лекция 6. Длина вектора. Направляющие косинусы - - - - - - - - - - - - - -  25

Лекция 7. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение - - -  27

Лекция 8. Выражение векторного произведения векторов через координаты перемножаемых векторов. Смешанное произведение - - - - - - - - - - - - - 29

 

                                       Аналитическая геометрия

Лекция 9. Основные понятия.Различные виды уравнения прямой     на плоскости - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 33             

Лекция10. Расстояние от точки до прямой. Различные виды уравнения плоскости - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38                                                         

Лекция11. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -   42

Лекция12. Взаимное расположение прямой и плоскости в R³. Полярная система координат - - - -  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    47

Лекция 13. Кривые второго порядка    - - - - - - - - - - - - - - - -    51

Лекция 14. Поверхности второго порядка - - - -  - - - - - - - - - -    53

Лекция 15. Преобразование прямоугольной системы координат в R². Квадратичные формы - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    57

 

                                 Математический анализ

Лекция 16. Понятие множества, функции, предела функции     - - - - - -   61

Лекция 17. Основные теоремы о бесконечно малых функциях и о пределах при x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 65

Лекция18. Второй классический предел. Сравнение бесконечно  малых функций - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    68

Лекция19. Непрерывность функции. Последовательности - - - - - - - - 71

                                                            91

Лекция20. Комплексные числа. Действия над комплексными числами - - 74

Лекция 21. Определение производной, её механический, геометрический смысл. Основные правила дифференцирования - - - - - - - - -   - - -  -77 

Лекция22. Производные некоторых элементарных функций - - - - - - -   81

Лекция 23. Неявные функции и их дифференцирование. Производные высших порядков - - - - - - - - - - - - - - - - - -  - - - - - - - - - - - 84

Лекция 24. Дифференциал функции - - - - - - - - - - - - - - - - - - 87

Литература - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    90

Содержание- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 91

 

 

                                                         92

                              Л И Т Е Р А Т У Р А

 1. Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис. 1996.287с.

 2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. М.: Высш. шк., 2003.-415с.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1,2.- 2-е изд.,- М.: Айрис – пресс, 2003.- 546 с.

4. Труппова В.А. и др. Теория функций комплексного переменного. Конспект лекций и практических занятий. – Иркутск:Из-во ИрГТУ, 2007-60с.

5. Шнейдер В.Б. и др. Краткий курс высшей математики. М.: Высш. шк. Ч.1., 1972.- 285с.          

     

 

                                                90