Лекция 6. Длина вектора. Направляющие косинусы.

             

   Пусть вектор  , так как он является диагональю параллелограмма, то по теореме из школы ² = ² = ² = ² или ² = X² +Y² +Z² отсюда

                                                                                                   (1)                                     

Рассмотрим вектор  ; точки А(  и В (   

    z     A             

                             B          ;   ;  ={ },                                         

         ^k                                                         так как  и  - проекции  , то                        

x    i      j             y            = {  , a модуль вектора

                                              

Обозначим углы наклона вектора  c осями координат ox,oy,oz соответственно  .

Определение. Косинусы углов, образованных между вектором и осями координат, называются направляющими косинусами вектора

                 z                      Если вектор ={ x,y,z}, то x =  ;                                                                                                     

                         y=  ; z =  , как проекции,отсюда                                                                                                         

         x o                 y , или

 =  ;  =    ;  =                    (1)         

Возведём в квадрат обе части равенств (1) и сложим, получим

                                                   25

 co  + co +co  =  + + = 1.

  условие того, что    углы вектора с осями координат.

                    

                              Условия коллинеарности двух векторов                            

   

   Пусть вектор  коллинеарен вектору  , тогда  по теореме () имеем  =  ,  =  , из этих равенств находим , то есть ; ;  =  , приравниваем левые части этих равенств условие коллинеарности векторов.                 

 Правило. Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

 Определение. Единичный вектор, направленный по вектору  , называется его ортом и обозначается                                                                                                                                          

Пример. Найти орт вектора

Решение.  Найдём модуль вектора  , тогда орт вектора запишется = {  }.

                              

                             Деление отрезка в данном отношении

 

Определение.  Разделить отрезок в данном отношении это значит найти на данном отрезке такую точку М, что имеет место равенство или М₁М .

Пусть даны точки  и  , найдём  координаты  точки    М  (x, y, z), делящей отрезок ₂ в отношении  .

                   Z М₁ М              = { x - x₁, y – y₁, z – z₁ };    

                                          M₂         = { x₂ – x, y₂ – y, z₂ – z }.

              x  o             y                         по теореме () в координатах      

x – x₁ =  (x₂ – x)   x (1+ )=  x₂ +x₁   x =                                                        y – y₁ =  (y₂ – y)  y (1+ ) =  y₂ + y₁ y =

                     z – z₁ =  (z₂ – z)  z (1+ ) =  z₂ + z₁ z =                                                                                                                   

Если точка М середина отрезка, то М₁ М = М М₂ и  = 1, тогда

                         X_cp. = , Y_cp. = ,   Z _cp. = .

Если  < 0, то точка М лежит вне отрезка М₁ М₂.

                                                  26

 

ЛЕКЦИЯ 7. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение.                      

   

Определение. Скалярным произведением  векторов  и  называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

 Обозначается ( =                      

         

            

                                                                                                                                                                                 

                       Физический смысл скалярного произведения

                              

Из физики известно, что работа силы по перемещению, находится по формуле А = F  S                        F    

                                                    

                                                                     S      

Если  вектор силы, а вектор перемещения, то работа А =  = = (, то есть работа равна скалярному произведению векторов силы и пути

                              

 

                    Свойства скалярного произведения

                                                                                                                                               

1. ( следует из определения;

2.  (;

3. (  = (;

4.Если   , так как ;

5. ( ⁰  ( ²   или

 6. ( =       

7. ()   =

                              Выражение скалярного произведения

                         через координаты перемножаемых векторов

  Пусть вектор  а вектор  , найдём их скалярное произведение (  =  = = { ( =  =1, другие ска-

                                                       27

лярные произведения базисных векторов равны нулю, так как они взаимно перпендикулярны } = .

 

 

Запишем основные формулы в декартовых координатах:  

п  = ;  ;

  → условие перпендикулярности 2-х векторов.                         

 Пример. Найти работу силы   по перемещению в направлении вектора  

Решение. А = (.

                            

 

                                  Векторное произведение векторов

                                    Правые и левые тройки векторов                                                                                                                                                              

Определение. Тройка векторов    называется правой (левой), если после приведения к одному началу, вектор располагается по ту сторону плоскости, определяемой векторами  откуда поворот от  к   свершается против часовой стрелки (по часовой стрелки).    

                                                                                    

                                                                                                

                                                                                                      

                                                                                                      

                                           Левая                                    Правая                                                                                                                                        

Определение. Аффинная система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

Определение. Векторным произведением вектора  на вектор  называется вектор , который удовлетворяет 3- м условиям:

1).  ;

2). Вектор  и ;

3). Вектор  направлен так, что образует правую тройку с векторами  и ;

Обозначается  или .

 

                                            Свойства векторного произведения

 

1. [  антикоммутативно;

2. [  = [ = [ 3. [  +  ) ]= [  + [ ;

                                                             28

4. Если  и   коллинеарны,то [  = 0 или  [ , так как  =  = 0;

5.Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях.

                                            S ={ из школы известно} =  =

           

                                               S = S = .                            

                                     

                              

                        Физический смысл векторного произведения

 

1). Рассмотрим физическую задачу.

      Пусть твёрдое тело вращается с угловой скоростью  вокруг неподвижной оси.        

                                                М – произвольная точка,  - линейная скорость, 

                   z                          направленная по касательной к окружности,                                                                                                                                                                                             

                                                            описываемой точкой М.                                  

                     ddD                       ,  ⊥ оси oz, из треугольника

                                                     OO₁M , тогда                                                                                                 так как ⊥  и  , а поворот от  к  против ча  

                                                    совой стрелки, то линейную скорость можно рас-                       

                                y     сматривать как векторное произведение, то есть

                                                                    

          x                                  Вывод: векторное произведение угловой скорос -                                                                                       ти на радиус – вектор произвольной точки вращающегося тела есть линейная скорость.                                                

M M  ]

2). Можно показать, что вращающий момент  силы  ,  приложенной к точке В тела есть векторное произведение вектора –плеча на вектор-силы.

 

A

                                               AAA                           

                                 B