Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Лекция 5. Понятие вектора. Основные операции над векторами.
Определение. Пространство, в котором введены декартовы координаты x,y,z, так, что выполняются следующие условия: 1) разным точкам пространства соответствуют разные наборы координат; 2) каждому набору x,y,z соответствует какая – то точка Р, изучаемого пространства; называется 3-х мерным декартовым и обозначается ; – двумерное декартово пространство – плоскость; - одномерное декартово пространство – прямая. Координаты – (от латинского слова) упорядоченный, определённый. Определение. Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок прямой. Обозначается , А – начало, В – конец вектора или или . Определение. Вектором называется матрица размерности (n или (1 ; = (n , Длина вектора– это его модуль, абсолютная величина,обозначается , . Определение. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной либо на параллельных прямых, их можно всегда представить
Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Определение. Два вектора называются равными, если 1) коллинеарны, 2) имеют одинаковое направление, 3) имеют равные длины.
Векторы, изучаемые в геометрии, называются свободными, так как точку приложения выбираем произвольно. Есть ещё скользящие и связные в физике и механике. Скользящие – такие, которые считаются равными, если лежат на одной прямой (сила). Связные – если, имеют общее начало и равны.
20
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
Определение. Cуммой 2-х векторов называют вектор, идущий из начала первого в конец второго, при условии, что выходит из конца .
Свойства суммы 1) = + 2) ( ) + = ; 3) + = ; 4) существует такой противоположный вектор , что . Определение. Суммой нескольких векторов называется вектор, который замыкает ломанную линию, составленную из векторов слагаемых.
= + + +
Правило параллелограмма
Если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то + сумма этих векторов представляет собой вектор, направленный по диагонали, выходящей из общего начала, а разность - направлена по второй диагонали, причём вектор разности направлен в сторону уменьшаемого.
+
Определение. Произведением вектора на вещественное число называется вектор удовлетворяющий условиям: 1) - коллинеарен вектору ; 2) 21 3) векторы и направлены одинаково, если и противоположны, если < 0, если же =0, то = 0. Cвойства произведения на число 1) ( + ) = ; 2) (; 3) = Пример. Построить вектор =2 . Решение. 3
2
Проекция вектора на ось
Определение. Ортогональной проекцией вектора = на ось называется величина отрезка А’B’ оси. Обозначается: п А’ B’ B A k
A’ B’
Теорема. Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью . Доказательство теоремы следует из рисунка.
Основные свойства проекций
1) п ; 2) п п ; 3) п п ; Вывод. Линейные операции над векторами сводятся к точно таким же операциям над их проекциями.
22 Понятие линейной зависимости векторов Определение. Линейной комбинацией n векторов ….. называют сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, то есть выражение вида: , (1) где - числа. Определение. Векторы ….. называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , из которых хотя бы одно не равно нулю, что линейная комбинация (1) обращается в ноль = 0. Определение. Векторы ….. называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда все = 0. Теорема 1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 2-х векторов является их коллинеарность. Доказательство необходимости. Пусть 2 вектора и зависимы, докажем, что они коллинеарны. По определению линейной зависимости векторов найдутся такие и , что + =0, пусть ,тогда разделим на , получим +
Последнее равенство означает, что векторы коллинеарны ч.т.д. Доказательство достаточности. Пусть и коллинеарны, то есть или это значит зависимы,ч.т.д. Теорема 2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 3-х векторов является их компланарность. Теорема 3. Любые 4-е вектора в линейно зависимы.
Понятие базиса. Аффинные координаты Определение. 3 линейно независимые вектора образуют в пространстве базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , то есть . (1) Это разложение вектора в базисе . Определение. Числа называются координатами вектора в базисе то есть координаты вектора это коэффициенты линейной зависимости, выражающие данный вектор через данный базис. Определение. Базис , в котором векторы произвольны называется аффинным. 23 Теорема 1. Всякий вектор может единственным образом разложен в данном базисе. Доказательство. Пусть (1) и ещё есть разложение (2) Вычтем из (1) (2) 0 = , так как - базис, то эта линейная комбинация выполняется тогда, когда отсюда , то есть разложения совпадают ч.т.д. Определение. Три некомпланарных вектора с общим началом О называются аффинным базисом и обозначается { O, }.
= { O
Определение. Вектор , соединяющий начало и точку М, называется радиусом вектором точки М.
Декартова система координат (д.с.к.) Определение. Аффинный базис { O, }, у которого векторы лежат на взаимно ортогональных осях и длины равны единицы, называется декартовым ортогональным базисом, принято обозначать { 0, }. В силу теоремы о разложении вектора в базисе для д.с.к. X,Y,Z – координаты вектора, – орты. Теорема. Декартовы прямоугольные координаты X,Y,Z вектора равны ортогональным проекциям этого вектора на оси OX, OY, OZ соответственно. Доказательство. Сделаем рисунок Z
M = + xOM; k y OM; o j y z OM; i по построению. P x 24
; ; , так как коллинеарны. xOM = ° = ; y OM= z OM = ч. т. д.
Определение. Проекции вектора на оси координат называются декартовыми прямоугольными координатами вектора. Теорема Линейные операции над векторами сводятся к точно таким же линейным операциям над их одноимёнными координатами. Пример. Найти координаты вектора , если ; Решение. По теореме xc=1+3 =1; yc =2+3 -13; zc = 3+3 3= 12 Ответ. = {1, -13, 12}. Определение. Радиус вектор – это вектор, соединяющий начало координат и точку А, обозначается = { X, Y, Z}.
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-09; просмотров: 191; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.216.190.41 (0.057 с.) |