Лекция 21. Определение производной , её механический , геометрический смысл. Основные правила дифференцирования.

 

    Пусть имеем непрерывную функцию y = f(x).

                                                    77

1). Дадим приращение  x .

2). Составим  .

3).                                                                    

  Определение. Производной  функции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение

аргумента стремиться к 0. (При условии, что этот предел существует).

Записывается так: f ’ (x) = = y ’ = .

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке x₀  называется предел справа (слева) отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

f’(x₀   .

Операция нахождения производной функции f(x) называется дифференцированием этой функции.      

 

                     Механический смысл производной

   . Пусть материальная точка движется по прямой по закону s=f(t), где t – время, а  s- путь за время t.

                                                                              S₀ =f(t₀), S = f(t₀+  ,

                                                                             

                                                                              V_cp.=  средняя скорость не отра-        

 t₀                      t₀ +                  s  жает истинного изменения скорос-

 ти, так как в начале отрезка точка может двигаться очень быстро, а потом может и наоборот медленно.Поэтому, чтобы точнее охарактеризовать  движение пользуются пределом, то есть тот предел к которому стремиться средняя скорость при .

              V = S’(t).

Вывод. Скорость неравномерного движения в данный момент есть предел отношения приращения пути  к приращению времени  и равна производной от пути по времени.

 . Пусть дан тонкий прямолинейный неоднородный стержень длины .

    

                                        Масса стержня есть функция точки

                                                                                m = f(x),

В физике средняя плотность стержня на отрезке от x₀ до x₀+  находится по формуле

Определение. Плотностью  стержня в точке x₀ называется предел средней

                                                            78

плотности, когда длина отрезка

        = m_x ’                                 

Вывод. Плотность – это производная массы по длине  x.

                                 

                                Геометрический смысл производной

 

 

 Пусть  f(x) – непрерывная функция.

                           y                                    

                                                                         секущая

                                                                    касательная   

                                                                              

                                                       

                                                    y₀                                              

                        0                                                 x     

                                                  x₀                x₀+

                                                                           

                                                                                                                                                                                                                                                                                           

k_кас. = tg ; k_cек. = tg  =  , при  секущая будет стремиться занять положение касательной, то есть .  Таким образом

k _{кас .} = tg  = .

Вывод. Производная функции в точке x ₀ есть угловой коэффициент касательной, проведённой в точку x ₀ к кривой.

               – геометрический смысл производной.

Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом: y-y₀ = tg )  или    - уравнение касательной к графику функции  y=f(x).

Определение. Нормалью  к кривой y=f(x) в данной точке  называется прямая перпендикулярная к касательной, проведённой к графику функции y=f(x) в точке М₀.

 - уравнение нормали

Определение. Угол между двумя кривыми, заданными уравнениями y = f₁ ( x) и y = f₂ (x) в их общей точке М₀ ( x₀,y₀) понимается угол  между касательными М₀ А и М₀ В к этим кривым в точке М₀.

                                                         

 

 

                                                     79

 

                                        y      

                                                                 

                                          f₁               

 

                                                   f₂                   

                                          0                                                    x

 

 

                               Дифференцируемость функции

 

Определение. Если функция y= f(x) в точке x = x₀,имеет производную, то есть существует то функция называется дифференцируемой при x = x₀.

  Теорема. Если функция y= f(x) – дифференцируема в точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Так как функция дифференцируема, то  , а по теореме (  это значит , где  б.м.функция, отсюда  , это условие непрерывности функции ч.т.д..

Замечание. Обратное утверждение неверно.                              

                                                Y

                                                                                                        

 

                                                               x₀

                                                   0                                    x      

Из рисунка видно, что в точке x₀  функция непрерывна, а касательная, проведённая к графику функции в этой точке параллельна оси ox, то есть tg  

 

                                Основные правила дифференцирования

 

 

1. [ c , c = const.

2. [u(x)

3. [u(x) .

4.  .

  

 

 

                                               80

                                   Теорема о сложной функции

 

П  и u = - непрерывна, тогда функция y = f [  - сложная функция.

Теорема. Если u =   имеет производную u’(x) в точке  x,а y = f(u) → y’(u) в точке u, то y =f[  в данной точке x  имеет производную y’_x, которая находится по формуле:

Доказательство. Дадим  x  приращение  , y  . Составим очевидное тождество , перейдём к пределу  =    =  , поэтому  =  = y’_{u x} ч.т.д..