Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
ЛЕКЦИЯ 8. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов . Смешанное произведение.
Пусть вектор [ 29
ВЫВОД. Векторное произведение равно определителю третьего порядка, элементами которого являются базисные векторы Замечание. Векторное произведение базисных векторов 0
Пример 1. Сила Решение.
Ответ: Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах Решение. S = Пример 3. Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А (2,3,1); В (5, 6, 3); С (7, 1, 10). Решение. S = этого из координат конца вычтем координаты начала, получим
Cмешанное произведение векторов Определение. Смешанным произведением 3-х векторов Обозначается: (
Cвойства смешанного произведения
1). ([ 2). ( 3). (α Доказательство этих свойств следует из свойств определителей, что мы и увидим в дальнейшем. Геометрический смысл смешанного произведения (
Вывод: Смешанное произведение векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах сомножителях. Координатная форма смешанного произведения
Пусть вектор [ 31 (
Используя формулу ( Пример. Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках : О (0,0,0); А(5,2,0); В (2, 5, 0); С (1,2,4). Решение. Объём пирамиды равен Ответ: Vпир. = 84 куб. ед.
Условие компланарности векторов
Теорема. Необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Доказательство необходимости. Пусть Доказательство достаточности. Пусть (
Вывод: Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения Пример. Проверить лежат ли четыре точки в одной плоскости. А (2,-1,1); В(5,5,4); С(3,2,-1); Д(4,1,3). Решение. Надо проверить лежат ли 3 вектора ( не лежат в одной плоскости. Определение. Двойным векторным произведением векторов 32 Задачи
Задача 1. Какому условию должны удовлетворять векторы Задача 2. Точка 0 является центром тяжести треугольника АВС. Доказать, что
Задача 3. Найти сумму и разность векторов Задача 4. Дан вектор Задача 5. Даны 3 вектора
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Лекция 9. Основные понятия. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов при помощи аналитического метода. В основе этого метода лежит метод координат, впервые применённый Декартом (великий французский математик и философ 1596-1650). Начальные (основные) понятия аналитической геометрии – точка, прямая линия, плоскость, поверхность.
Понятие об уравнении линии.
Определение. Линия L – это геометрическое множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
Ф(x,y) = 0 или (1) F(x,y) = 0. Для более удобного построения линий L, часто вводят вспомогательную переменную или параметр t. Исключив из (2) параметр t, перейдём к (1). Пример. Получить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r. Решение. Сделаем рисунок. 33
y
oo t x 0
Эти уравнения (3) и есть параметрические уравнения окружности. Обе части уравнений (3) возведём в квадрат и сложим Можно вывести уравнение циклоиды – это линия, которую описывает точка М на окружности, если окружность без скольжения движется по прямой. y
0 x
Определение. Линия называется алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат она определяется уравнением Ф(x,y)=0, где Ф(x,y) – алгебраический полином – многочлен. Определение. Алгебраическая линия называется порядка n, если Ф(x,y) многочлен n-ой степени. Ф(x,y)= Аx+By+C=0 1-ой степени Ф(x,y)= A Ф(x,y)= A Определение. Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.
УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Определение. Уравнение Ф(x,y,z)=0 называется уравнением поверхности S относительно д.с.к., если этому уравнению удовлетворяют координаты x,y,z, любой точки, лежащей на поверхности S.
0 x y М(x,y,z); С(a,b,c) МС =r=
34 Определение. Линию в
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
Общее уравнение прямой. y N M M1 0 x ( A(x- Ax + By +(-A (-Аx-By)=C,получим
Неполные уравнения прямой.
1). С=0, Ax+ By=0 - прямая проходит через начало координат. 2). B=0, Ax+ C =0 - прямая параллельна оси оy. 3). A=0, By+ C =0 - прямая параллельна оси ox. 4). B=C=0, Ax=0, x=0 - ось oy. 5). А=С=0, Вy =0, y=0 - ось оx. Уравнение прямой в отрезках.
Запишем общее уравнение прямой Ax+By+C=0 0 x
Пример. Привести уравнение прямой 3x+5y+20= 0 к уравнению в отрезках. Решение. Перенесём 20 вправо и разделим обе части на -20, получим:
Ответ.
35 Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения.
Определение. Вектор коллинеарный прямой, называется направляющим вектором прямой y M x уравнение прямой.
Если Обозначим
Уравнение прямой, проходящей через две точки y 0 Уравнение прямой с угловым коэффициентом. y 0 x
36 уравнении скобки y = kx + (- b, это постоянное число, получим:
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности, перпен- дикулярности двух прямых
Если
Если
Условие параллельности
Y Y = 0
37 tg Если Если Пример. Получить все виды уравнения прямой, если прямая задана общим уравнением 3x+4y-5=0. Решение. 1). Уравнение с угловым коэффициентом: 4y=-3x+5 2).Уравнение прямой в отрезках: 3x+ 4y =5 3).Каноническое уравнение: возьмём 2 произвольные точки на прямой 4). Уравнение прямой через две точки
| Поделиться:
| |
и вектор 
найдём векторное произведение этих векторов
, 
] = 
= { 
= 
= 
=0, } = 
= 
= { раскроем этот определитель по элементам первой строки, получим 
} = [ 
(первая строка), координаты перемножаемых векторов 
(вторая строка); 
(третья строка ). 
находят по правилу правых и левых троек
= 
= 
=- 
= 
= - 
= - 
= {1, 0, 4 } приложена к точке С (1, 2, 3). Найти момент этой силы относительно точки D (1, 4, 5).
,координаты вектора 
= { 0, -2, -2}.
= -8 
+ 2 
{ -8,2,2}.
, где 
; угол между векторами 
и 
равен 600.
= 
= 5 
0 = 5 
3 
=15 
кв.ед. Ответ: S = 15 
S = 
. Найдём координаты векторов 
, для
{3,3,2}; 30
{5,-2,9}. S = 
= 
= = 
= 
ед. Ответ: S = 
, 
называется скалярное произведение вектора [ 
на вектор 
, ([ 
.
или (
;
= (
= - (
= +(
;
, 
.
S. По определению ([ 
h = 
= S 
= 
={h = 
= V. 
Угол 
и > 
< 0 или 
>0, поэтому 
] = 
= 
- 
+ 
. Известно, что скалярное произведение - это произведение одноимённых координат, поэтому
X3 - 
Z3 , c другой стороны - это разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.
= ( 
( 
, можно доказать все свойства (1,2,3) смешанного произведения.
объёма параллелепипеда, то есть = Vпир. = 
Vпар. = 
, 
= 
= 
( 100 -16) = 84 куб.ед.
компланарны, значит построить параллелепипед на них нельзя, то есть объём равен нулю V=0, а это значит и 
=0 ч.т.д. 
= 0 это значит, что V=0 и векторы 
= 0 
в одной плоскости, для этого найдём координаты этих векторов 
{3,6,3}; 
= 18 -24 +6 -18-12+ 12= 18 
. Вывод. Эти точки 
называется векторное произведение [ 
или [ 
.
, чтобы вектор 
делил пополам угол между векторами 
.
, если 
; 
; 
Угол 
равен 600. Найти 
=?
, 
Определить разложение вектора 
по базису 
(2)
t 
. 
уравнение окружности с центром в точке О(0,0) и радиусом r.
2-ой степени
3-й степени.
или
- это уравнение сферической поверхности
рассматривают, как пересечение 2-х поверхностей.
.
= 
.
∙ 
, раскроем скобки
, обозначим
- общее уравнение прямой.
Ax+By=-C, разделим обе части на -С, получим 
+ 
=1, обозначим 
= 
, 
= b. 
уравнение прямой в отрезках, α и b → отрезки, отсекаемые прямой от осей координат соответственно оx, оy. y
или 
=1, α= 
, b= 
.
; M(x,y); 
; 
L 
поэтому 
то 
прямая параллельна оси оy. Если m=0, то 
прямая параллельна оси оx.
параметрические уравнения прямой.
; 
,m); пусть 
, тогда 
= 
+ 
.
, 
}. 
= 
, подставим вместо 
и m 
, но 
. Получим 
= 
(x- 
= y- 
или tg 
, окончательно 
Выражение в скобках обозначим через 
это уравнение прямой с угловым коэффициентом, где b отрезок, который прямая отсекает от осей координат.
. Пусть две прямые 
и 
заданы общими уравнениями.
и 
; 
{ 
; 
{ 
║ 
→ условие параллельности.
, это значит 
→ условие перпендикулярности.
. Пусть две прямые 
= 
и 
= 
, 
, 
, то
= 
. Условие перпендикулярности 
. Прямые 
и y = 
, tg 
=
x = 
, так как tg 
, 
, то 
.
, то tg 
=0 и tg 
когда 
или 
- условие параллельности прямых.
, то tg 
, поэтому 1+ 
или 
- → условие перпендикулярности прямых. 
, k=- 
.
+ 
= 1, 
, b= 
.
(0, 
вектор 
{ 
, 
} является направляющим вектором прямой, каноническое уравнение запишем через точку 
= 
.
