Модель генератора автоколебаний

 

  Рассмотрим решение уравнения Ван дер Поля, описывающего электрические колебания в замкнутом контуре, состоящем из соединенных последовательно конденсатора, индуктивности, нелинейного сопротивления и элементов, обеспечивающих подкачку энергии извне.

  Неизвестная функция времени y(t) имеет смысл электрического тока, а в параметре μ заложены количественные соотношения между составляющими электрической цепи, в том числе и нелинейной компонентой сопротивления

 

 

 

 

 

   Решением уравнения Ван дер Поля являются колебания, которые показаны на рисунке.  Они называются автоколебаниями. 

   Автоколебания отличаются от колебаний маятника в модели осциллятора тем, что их характеристики (амплитуда, частота, спектр) не зависят от начальных условий, а определяются исключительно свойствами самой динамической системы.

   Через некоторое время расчетов после выхода из начальной точки решение выходит на один и тот же цикл колебаний, называемый предельным циклом. Аттрактор типа предельного цикла является замкнутой кривой на фазовой плоскости. К нему асимптотически притягиваются все окрестные траектории, выходящие из различных начальных точек, как изнутри (рисунок выше) так и снаружи (рисунок ниже) предельного цикла.

 

Модель Лоренца

     Одна из самых знаменитых динамических систем предложена в 1963 г. Лоренцем в качестве упрощенной модели конвективных турбулентных движений жидкости в нагреваемом сосуде тороидальной формы. Система состоит из трех ОДУ и имеет три параметра модели.

 

   Поскольку неизвестных функций три, то фазовый портрет системы должен определяться не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

   Решением системы Лоренца при определенном сочетании параметров является странный аттрактор (или аттрактор Лоренца) - притягивающее множество траекторий на фазовом пространстве, которое по виду идентично случайному процессу.

   В некотором смысле, аттрактор Лоренца является стохастическими автоколебаниями, которые поддерживаются в динамической системе за счет внешнего источника.

 

 

      Решение в виде странного аттрактора появляется только при некоторых сочетаниях параметров. В качестве примера приведем результат для r=17 и тех же значениях остальных параметров. Как видно, аттрактором в этом случае является фокус.

     Перестройка типа фазового портрета происходит в области промежуточных r. Критическое сочетание параметров, при которых фазовый портрет системы качественно меняется, называется в теории динамических систем точкой бифуркации.

     Физический смысл бифуркации в модели Лоренца, согласно современным представлениям, описывает переход ламинарного движения жидкости к турбулентному.

 

 

Краевые задачи для ОДУ

    Рассмотрим краевые задачи для систем ОДУ, в которых часть граничных условий поставлена в начальной точке интервала, а остальная часть - в его конечной точке. Для решения краевых задач предусмотрены соответствующие численные методы, в частности алгоритм пристрелки. Краевые задачи во множестве практических приложений часто зависят от некоторого числового параметра. При этом решение существует не для всех его значений, а лишь для счетного их числа. Такие задачи называют уже задачами на собственные значения.

    Постановка краевых задач для ОДУ отличается от задач Коши, рассмотренных ранее, тем, что граничные условия для них ставятся не в одной начальной точке, а на обеих границах расчетного интервала. Если имеется система N обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, то часть из N условий может быть поставлена на одной границе интервала, а оставшиеся условия - на противоположной границе. Дифференциальные уравнения высших порядков можно свести к эквивалентной системе ОДУ первого порядка.

      Рассмотрим постановку краевых задач на конкретном физическом примере модели взаимодействия встречных световых пучков.

Предположим, что надо определить распределение интенсивности оптического излучения в пространстве между источником (лазером) и зеркалом, заполненном некоторой средой.

    Будем считать, что от зеркала отражается R-я часть падающего излучения (т. е., его коэффициент отражения равен R), а среда как поглощает излучение с коэффициентом ослабления a(x), так и рассеивает его. Причем коэффициент рассеяния назад равен r(x). В этом случае закон изменения интенсивности y0(x) излучения, распространяющегося вправо, и интенсивности y1(x) излучения влево определяется системой двух ОДУ первого порядка:

 

 

    Для правильной постановки задачи требуется помимо уравнений задать такое же количество граничных условий. Одно из них будет выражать известную интенсивность излучения I0, падающего с левой границы x=0, а второе - закон отражения на его правой границе x=1:

 

Рис. 1. Модель для постановки краевой задачи

 

   Полученную задачу называют краевой (boundary value problem), так как условия поставлены не на одной, а на обеих границах интервала (0,1). И, в связи с этим, их не решить методами предыдущей главы, предназначенными для задач с начальными условиями. Далее для показа возможностей Mathcad будем использовать этот пример с R= 1и конкретным видом

a (x)=const= 1и r(x)=const=0.1, описывающим случай изотропного (не зависящего от координаты x) рассеяния.

Алгоритм стрельбы

     Для решения краевых задач в Mathcad реализован наиболее популярный алгоритм, называемый методом стрельбы или пристрелки (shooting method). Он сводит решение краевой задачи к решению серии задач Коши с различными начальными условиями. Суть метода стрельбы заключается в пробном задании недостающих граничных условий на левой границе интервала и решении затем полученной задачи Коши хорошо известными методами. В нашем примере не хватает начального условия для y1(0), поэтому сначала зададим ему произвольное значение, например y1(0)=10. Конечно, такой выбор не совсем случаен, поскольку из физических соображений ясно, что, во-первых, интенсивность излучения - величина заведомо положительная, и, во-вторых, отраженное излучение должно быть намного меньше падающего.

Пример: Решение пробной задачи Коши для модели распространения света

      Из графика видно, что взятое наугад второе начальное условие не обеспечило выполнение граничного условия при x= 1. И понятно, что для лучшего выполнения этого граничного условия следует взять большее значение y1(0). Возьмем, например, y1(0)= 15, и вновь решим задачу Коши, далее y1(0)= 20, y1(0)= 25.  Продолжая подобным образом "пристрелку" по недостающему начальному условию, возможно отыскать правильное решение краевой задачи.

 

                                                                                     

 

 

Рис. Иллюстрация метода стрельбы

  В этом и есть принцип алгоритма стрельбы. Выбирая пробные начальные условия (проводя пристрелку) и решая соответствующую серию задач Коши, можно найти то решение системы ОДУ, которое (с заданной точностью) удовлетворит граничному условию (или, в общем случае, условиям) на другой границе расчетного интервала.

Двухточечные краевые задачи

    Решение краевых задач для систем  обыкновенных дифференциальных уравнений методом стрельбы в Mathcad достигается применением двух встроенных  функций. Одна из них предназначена для двухточечных  задач с краевыми условиями, заданными на концах интервала.

o Sbval(z,x0,x1,D,load,score)-поиск вектора недостающих L начальных условий для двухточечной краевой  задачи для системы  N ОДУ:

· Z-вектор размера Lx1, присваивающий недостающим начальным условиям (на левой границе интервала) начальные значения;

· X0-левая граница расчётного интервала;

· X1-правая граница расчётного интервала;

· Load(x0,z)-векторная функция  размера Nx1 левых граничных условий, причём недостающие начальные  условия поименовываются соответствующими компонентами векторного аргумента;

· Score(x1,y)-векторная функция размера Lx1, выражающая L правых граничных условий для векторной функции y в точке x1;

· D(x,y)-векторная функция, описывающая систему N ОДУ, размера Nx1 и двух аргументов – скалярного х и векторного у. При этом у-это неизвестная векторная функция  аргумента х того же размера Nx1.

Пример: Решение краевой задачи:

 

 

 

 

 

 

 

Реализованный в функции sbval алгоритм стрельбы ищет недостающие начальные условия таким образом, чтобы решение полученной задачи Коши делало функцию score(x,y) как можно ближе к нулю.