Дифференциальные уравнения N -го порядка

 

Для решения ОДУ порядка N>=1  в Mathcad предусмотрены две возможности:

· Вычислительный блок Given/Odesolve - в этом случае решение имеет вид функции от t;

· Встроенные функции решения систем ОДУ, причём уравнениявысших порядков необходимо свести к эквивалентной системе уравнений первого порядка. В этом случае решение имеет формат вектора.

Вычислительный блок для решения ОДУ, реализующий численный метод Рунга-Кутты, состоит из трёх частей:

· Given-ключевое слово;

· ОДУ и начальные условия  в формате y(t0)=b записанные с помощью логических операторов, которые должны набираться на панели инструментов Boolean;

· Odesolve(t,t1)-встроенная функция для решения ОДУ относительно переменной t на интервале (t0,t1), причём   t0<t1.

 

Пример:

Решение задач Коши для ОДУ второго порядка (модель нелинейного осциллятора).

 

 

 

 

 

  В примере можно применить различные модификации метода Рунга-Кутта. Для смены метода необходимо нажатием правой кнопки мыши на области функции  Odesolve  вызвать контекстное меню и выбрать в нём один из трёх пунктов: Fixed - (с фиксированным шагом); Adaptive- (Адаптивный);  Stiff- (Для жёстких ОДУ).

Схемы Рунге-Кутта

  Семейство схем Рунге-Кутта основано на аппроксимации неизвестных аргументов y(t_n) в правых частях дифференциальных уравнений f(t,y).

Рассмотрим идею этих методов на примере алгоритма 2-го порядка.
Выпишем точную формулу интегрирования ОДУ на n-м шаге численного решения:

В формуле

 

не знаем, чему равно y_n+1/2. Возьмем его из формулы явного алгоритма Эйлера:

 

и подставим в основную формулу интегрирования шага ОДУ. В результате получим следующий алгоритм реализации шага:

где

 

В зависимости от выбора метода интегрирования ОДУ на элементарном шаге и конкретной формы аппроксимации y (t) в правой части ОДУ, получаются алгоритмы различной точности и быстродействия. Наиболее популярен алгоритм Рунге-Кутта четвертого порядка, описанный в большинстве книг по методам вычислений. Он обеспечивает малую погрешность для широкого класса систем ОДУ за исключением жестких систем и, при этом, довольно экономичен (на каждом шаге интегрирования требуется вычисление 4-х значений функции f):

 

 

 

 

 

   Если по различным причинам время расчетов становится критичным или точность неудовлетворительной, стоит попробовать вместо рассмотренного алгоритма Рунге-Кутта с фиксированным шагом другие методы.

  Например, если известно, что решение на рассматриваемом интервале меняется слабо, либо существуют участки медленных и быстрых его изменений, Метод Рунге-Кутта с переменным шагом основан на разбиении интервала не на равномерные шаги, а более оптимальным способом.

  Там, где решение меняется слабо, шаги выбираются более редкими, а в областях его сильных изменений - частыми. Это очень просто осуществить, т.к. алгоритм Рунге-Кутта является одношаговым и подразумевает простой пересчет при любом значении шага h_n искомого y (t_n+h_n) через y (t_n).

  Таким образом, легко обобщить алгоритм на адаптированный вариант, с выбором на каждом шаге своего h_n в зависимости от локальной динамики решения на предыдущих шагах.

  В результате применения адаптированного алгоритма, для достижения одинаковой точности может потребоваться существенно меньшее число шагов, чем для стандартного алгоритма Рунге-Кутта с фиксированным шагом.