Теорема 1 (о градусной мере угла между двумя пересекающимися хордами).  угол между двумя пересекающимися хордами имеет градусную меру, равную полусумме градусных мер тех дуг, на которые опирается

Этот угол и угол, вертикальный к нему.

Доказать:

Доказательство:

Способ 1. Рассмотрим D CEB.

Способ 2. Построим AG II CD.

Заметим, что È DG = È AC – симметричны относительно центра окружности.

E

C

A

B

M

D

C

B

M

A

D

Теорема 2 (о градусной мере угла, образованного двумя секущими). Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися в какой-либо точке вне круга, имеет градусную меру, равную половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, высекаемых  этими секущими на окружности и заключенными между ними.

Доказать:

Доказательство:

Способ 1.

Рассмотрим D CMB.

Способ 2.

Проведем BE II MC.

Заметим, что È AB = È CE – симметричны относительно центра окружности.

6.

7. Задача по теме «Метод координат».

Билет № 22

4. Теорема косинусов. Следствие из теоремы.

Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: Треугольник АВС.

                 Доказать:

            1 .;

            2. ;

           3. .

Доказательство: Возможны три случая:

1) Угол С-острый;

2)  угол С- тупой;

3)  угол С –прямой.

Докажем первое равенство, два других доказываются аналогично.

;

;

 

 

Второй способ решения задачи. Координатный метод.

1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси AX, а точка С имела положительную ординату. Решение записывают все учащиеся.
2. Запишем координаты точек: B(c; 0); C(bcosA; bsinA). 3. Найдём квадрат стороны BC: BC^2 = a^2 = (bcosA - c)^2 + (bsinA)^2 = = b^2cos^2A – 2bccosA + c^2 + b^2sin^2A = = b^2(cos^2A + sin^2A) + c^2 – 2bccosA = = b^2 + c^2 – 2bccosA.

Вывод: Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов.

1 следствие.
Дано: ABC AC = b, AB = c, AH = bc __________________ Найти: a	Решение: Возможны 2 случая: а) A – острый, то cosA > 0, б) A – тупой, то cosA < 0, а) Если A – острый, тогда по теореме косинусов a^2 = b^2 + c^2 – 2bccosA
	В прямоугольном ACH: bc = bcosA. Так как A – острый, то cosA > 0, тогда a^2 = b^2 + c^2 – 2bcc, то есть квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Случай, когда угол, лежащий против неизвестной стороны тупой,т.к. cosA < 0, то a^2 = b^2 + c^2 + 2bccosA, т.е. квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное произведение одной из них на проекцию другой.
2 следствие.
Дано: ABCD – параллелограмм, AB = CD =a, BC = AD = b. __________________ Найти: d1^2 + d2^2.