Внутри угла вас проведем луч ат через центр окружности. Согласно аксиоме измерения углов

Ð ВАС = Ð ВА T + Ð C А T = 0,5 È В T + 0,5 È С T =

= 0,5(È В T + È С T) = È СВ.

3). Центр окружности лежит вне вписанного угла. Вне угла ЕАС проведем луч АТ через центр окружности. Согласно аксиоме измерения углов

Ð ТАС = Ð САЕ + Ð ЕА T Þ Ð САЕ = Ð ТАС − Ð ЕА T = 0,5 È С T − 0,5 È Е T == 0,5(È С T − È Е T) = È СЕ.

Следствия из теоремы о градусной мере вписанного угла.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Ð ВАС = 0,5 È ВС; Ð ВРС = 0,5 È ВС; Ð ВАС = Ð ВРС.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.

Е

Т

C

B

А

O

Градусная мера полуокружности равна 180°. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен 0,5∙180° или 90°.

Следствие 3. Равные дуги окружности стягиваются равными хордами.

Если È AB = È TE, то Ð BOA = Ð EOT.

Тогда D AOB = D EOT по первому признаку равенства:

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. Þ ET = AB.

2. Вывод формул площади треугольника .

N

C

B

А

N

C

B

А

Теорема о площади произвольного треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон и проведенной к ней высоты:

Доказательство:

1) Пусть D АВС – остроугольный, тогда BN ^ AC лежит внутри треугольника.

2) Пусть D АВС – тупоугольный с тупым углом С и BN ^ AC лежит внутри треугольника.

N

C

B

А

Вычисление площади треугольника через угол. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон и синуса угла между ними:

Доказательство:

Задача по теме «Трапеция».

Билет № 6

1. Определение внешнего угла треугольника. Доказать теорему о внешнем угле треугольника. Сумма внешних углов п - угольника.

Определение: Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

Построение внешнего угла: Чтобы построить внешний угол треугольника, нужно продлить соответственную сторону треугольника. При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла. Они равны между собой, так как являются смежными с одним и тем же углом.

D

C

B

A

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Дано:     ∆АВС.

Доказать:

Доказательство:

 

 

2. Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30⁰, 45⁰, 60⁰.

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник с углом при основании, равным 45°. Пусть катеты его равны a. Тогда по теореме Пифагора его гипотенуза будет равна Поэтому

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной, равной a. Проведем в нем медиану BD. Получим треугольник ABD – прямоугольный с острым углом при вершине B и стороной По теореме Пифагора Значит: