Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

В2

В

В1

С

С1

А1

А

Доказательство:

1. Так как Ð С = Ð С₁,  то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина С совместится с вершиной С₁, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи СА₁ и СВ₁.

2. Так как СА = С₁А₁, то вершина А совместится с вершиной А₁. Остается доказать, что совместятся точки В и В₁.

3. Предположим, что точки В и В₁ не совместятся. Рассмотрим Δ А₁В₁В₂ – равнобедренный, так как АВ = A ₁ B ₁ Þ А₁В₂ = A ₁ B ₁. Тогда Ð A ₁ B ₁ В₂ = Ð A ₁ В₂ B ₁. Заметим, что Ð A ₁ B ₁ С₁ - острый угол прямоугольного треугольника А₁В₁С₁, а Ð A ₁ B ₁ В₂, смежный с ним, - тупой. Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, то это невозможно. Значит, точки В и В₁ совместятся.       

2.Определение окружности. Формулы для вычисления длины окружности(без вывода) и длины дуги окружности.

C

Q

P

A

О

B

Определение 1. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из множества точек, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности. О – центр окружности.

Определение 2. Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также длина этого отрезка. ОС, ОА, ОВ – радиусы окружности.

Определение 3. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. PQ, АВ – хорды.

Определение 4. Наибольшая хорда окружности, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Центр окружности является серединой диаметра. Диаметр равен двум радиусам. АВ – диаметр.

Определение 5. Дугой окружности называется часть окружности, ограниченная двумя точками окружности. АС, А P, PQ, В Q, BC – дуги окружности.

Формула длины окружности. Длина С окружности радиусом R выражается формулой С = 2 p R.

Отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное для всех окружностей.

Формула длины дуги окружности). Длина дуги окружности определяется по формуле  

Так как длина окружности С = 2 p R, то длина дуги в 1°  а длина дуги в a °

Задача по теме «Задача на построение».

Билет № 10

1. Определение параллелограмма. Свойства параллелограмма с доказательством (не менее четырех свойств).

Определение 1. Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом.

У каждого параллелограмма четыре вершины, четыре стороны, четыре угла. Две стороны, имеющие общие концы, называются смежными. У каждого параллелограмма две диагонали – отрезки, соединяющие противоположные вершины параллелограмма. Сумма углов параллелограмма равна 360°.

Свойства параллелограмма.

D

С

В

А

 

Свойство 1. У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы попарно равны.

Доказательство: Проведем диагональ АС. АС – общая; Ð ВАС = Ð АС D (внутренние накрест лежащие при АВ II BC и секущей АС); Ð ВСА = Ð СА D (внутренние накрест лежащие при А D II BC и секущей АС); Þ D АВС = D А D С (по 2 признаку).АВ = CD; BC = AD; Ð В = Ð D. Ð А = Ð ВАС + Ð С AD; Ð С = Ð АС B + Ð АС D;  Þ Ð А = Ð С.

Свойство 2. У параллелограмма углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°.

Доказательство:

Ð В + Ð А =180° (внутренние односторонние при ВС II AD и секущей А B).

Ð B + Ð С =180° (внутренние односторонние при A В II CD и секущей BC).

Ð D + Ð C =180° (внутренние односторонние при ВС II AD и секущей CD).

Ð A + Ð D =180° (внутренние односторонние при A В II CD и секущей AD).

Свойство 3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

О

D

С

В

А

Доказательство: Проведем диагонали АС и BD, пересекающиеся в точке О.

АВ = С D (по первому св-ву параллелограмма);

Ð A В O = Ð ODC (внутренние накрест лежащие при АВ II CD и секущей BD);

Ð ВА O = Ð O С D (внутренние накрест лежащие при А B II CD и секущей АС); Þ D АВ O = D OD С (по 2 признаку).В O = OD; AO = OC.

 

2. Построение биссектрисы угла. Доказать свойство биссектрисы треугольника. Теорема об отношении отрезков биссектрисы треугольника, но которые она делится точкой пересечения биссектрис.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.  

Построение биссектрисы данного угла: