Построить биссектрисы любых двух углов треугольника и найти точку их пересечения – центр вписанной окружности.

Из полученной точки – центра вписанной окружности – опустить перпендикуляр на любую из сторон треугольника. Длина полученного отрезка – радиус вписанной окружности.

Полученным радиусом построить окружность из полученного центра.

Центр  вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника.

Чтобы построить описанную окружность, достаточно:

Построить два серединных перпендикуляра к двум любым сторонам треугольника и найти точку их пересечения – центр описанной окружности.

Соединить полученную точку – центр описанной окружности – с любой из вершин треугольника. Длина полученного отрезка – радиус описанной окружности.

Полученным радиусом построить окружность.

Центр описанной окружности лежит: в остроугольном треугольнике – внутри него;

в прямоугольном треугольнике – на середине гипотенузы;

В тупоугольном треугольнике – вне окружности.

Задача по теме «Векторы».

Билет № 16

Определение подобных треугольников. Сформулировать лемму о подобии треугольников.  Сформулировать и доказать признаки подобия треугольников.

Лемма. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то соответствующие стороны треугольников пропорциональны.

                                    В₁                        

       В                                                      

                                                              

А             С А₁                            С₁     

       Дано: D АВС, D А₁В₁С₁, ÐА = ÐА₁, ÐВ = ÐВ₁

                   Доказать:

       Доказательство.

       Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ÐС = 180° - ÐА - ÐВ и ÐС₁ = 180° - ÐА₁ - ÐВ₁ Þ ÐС = ÐС₁.

ÐА = ÐА₁ Þ ; ÐС = ÐС₁ Þ  Þ .

Аналогично, используя равенство ÐА = ÐА₁, ÐВ = ÐВ₁, находим

Получили,  = k – коэффициент подобия (D А₁В₁С₁ ~ D АВС).

 

4. Построение касательной к окружности (два случая).

5. Задача по теме «Четырехугольники».

Билет № 17

1. Вывод формулы Герона.

Формула, устанавливающая связь между длинами сторон произвольного треугольника и его площадью, называется формулой Герона.

ЕА

С

В

А

В треугольнике АВС:

ВС = а; АВ = с; АС = b;

AE ^ BC, AE = h_a;

AE∩BC = {E}; CE = x; BE = a─x.

По теореме Пифагора из D САЕ:

По теореме Пифагора из D ВАЕ:

По аналогии запишем:

Найдем площадь D АВ C:

2. Свойство чевианы о разбиении площади треугольника на части. Теоремы о «ласточкином хвосте».

3. Задача на тему «Задачи на построение».

Билет № 18

1. Вывод формул площадей параллелограмма .

2. Доказать теорему об отношении отрезков медиан, на которые они делятся центром тяжести.

3. Задача по теме «Векторы».

Билет № 19

1. Трапеция (определение). Вывод формулы площади трапеции. Теорема о четырех точках трапеции (доказательство).

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие – непараллельные.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные стороны – боковыми.