Циркулем из вершины угла а проводим дугу произвольного радиуса до пересечения со сторонами угла в точках в и С.

Из точек В и С проводим дуги одинакового радиуса до пересечения в точке D.

Из точки A через точку D проводим луч AD.

B

A

C

D

Докажем, что Ð CAD = Ð BAD.

В D ACD и D ABD:

AD – общая;

AB = AC – по построению;

CD = BD – по построению.

D ACD = D ABD (по третьему признаку).

Ð CAD = Ð BAD.

AD – биссектриса.

Теорема о биссектрисе угла треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противоположную  сторону на отрезки, пропорциональные соответствующим боковым сторонам.

D

В

С

А

Доказательство:

Пусть BD – биссектриса угла В в D А B С. Она разбивает треугольник на два треугольника: D А BD и D B С D.

По теореме синусов из D А BD:

По теореме синусов из D B С D:

4). Ð А DB + Ð CDB = 180° - смежные Þ

Следствие 1. Пусть BD – биссектриса угла В треугольника АВС. Тогда отрезки AD и CD находятся по формулам:    

Доказательство:

Пусть АС = b, AB = c, BC = a. Если AD = x, то DC = b – x. Составим пропорцию:

Задача по теме «Прямоугольник, квадрат».

Билет № 11

Доказать признаки параллелограмма. Построение параллелограмма по двум сторонам и диагонали.

Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

D

С

В

А

Дано: ABCD – четырехугольник; А D II BC, А D = BC.

Доказать: АВС D – параллелограмм.

Доказательство: Проведем диагональ АС. АС – общая; ВС = А D (по условию); Ð ВСА = Ð СА D (внутренние накрест лежащие при А D II BC и секущей АС); Þ D АВС = D А D С (по 1 признаку).

Ð В AC = Ð ACD (внутренние накрест лежащие) Þ АВ II С D. АВС D – параллелограмм.

Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

D

С

В

А

Дано: ABCD – четырехугольник; АВ = С D, А D = BC.

Доказать: АВС D – параллелограмм.

Доказательство: Проведем диагональ АС. АС – общая; ВС = А D (по условию); АВ = С D (по условию); Þ D АВС = D А D С (по 3 признаку). Ð ВСА = Ð СА D (внутренние накрест лежащие) Þ А D II BC; Ð В AC = Ð ACD (внутренние накрест лежащие) Þ АВ II С D.

АВС D – параллелограмм.

О

D

С

В

А

Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD – четырехугольник; АС В D = {О}; BO = OD; AO = OC.

Доказать: АВС D – параллелограмм.

Доказательство: В O = OD (по условию); А O = O С (по условию); Ð AO В = Ð С OD (вертикальные);

Þ D АОВ = D D ОС (по 1 признаку).

Ð ОВА = Ð С D О (внутренние накрест лежащие) Þ АВ II С D; В O = OD (по условию); А O = O С (по условию); Ð С O В = Ð А OD (вертикальные);

Þ D СОВ = D D ОА (по 1 признаку). Ð В C О = Ð О AD (внутренние накрест лежащие) Þ А D II BC.

АВС D – параллелограмм.

2. Определение вневписанной окружности. Теорема о центре вневписанной окружности.

3. Задача по теме «Векторы».

Билет № 12

1. Определение прямоугольника. Доказать свойства и признаки прямоугольника.

Определение 1. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.