Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Трапеция, У которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной.

1. Уравнение окружности (вывод). Взаимное расположение прямой и окружности.

2. Задача по теме «Решение треугольника».

Билет № 20

4. Теорема Пифагора (прямая и обратная). Пифагоровы тройки чисел, египетский треугольник.

G

F

E

Q

Р

M

D

N

C

B

А

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Доказательство:

Пусть Т – прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с.

2). Построим квадрат K со стороной a + b. На сторонах квадрата отметим точки D, E, F, G так, чтобы отрезки DE, EF, FG, GD отсекали от квадрата K прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ с катетами a и b.

3). Все прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т. Следовательно DE = EF = FG = GD.

Докажем, что четырехугольник DEFG является квадратом.

По принципу равносоставленности

Значение теоремы Пифагора. Это одна из главных теорем геометрии. С ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство:

1). Пусть в треугольнике АВС АВ² = АС² + ВС². Докажем, что угол С – прямой.

2). Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁В₁С₁ с прямым углом С₁, у которого А₁С₁ = АС, В₁С₁ = ВС.

3). В треугольнике А₁В₁С₁ по теореме Пифагора (А₁В₁)² = (А₁С₁)² + (В₁С₁)². Следовательно (А₁В₁)² = АС² + ВС².

4). Докажем равенство сторон АВ и А₁В₁.

5). Докажем равенство треугольников D АВС и D А₁В₁С₁.

Таким образом, треугольник АВС – прямоугольный с прямым углом С.

На основании доказанной теоремы можно по известным длинам сторон треугольника определять вид треугольника в зависимости от величин его углов.

1. Если АВ² = АС² + ВС², то треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С.

2. Если АВ² > АС² + ВС², то треугольник АВС тупоугольный с тупым углом С.

O

A

B

C

D

E

O

A

C

B

D

E

G

3. Если АВ² < АС² + ВС², причем АВ – наибольшая из сторон треугольника АВС, то треугольник АВС остроугольный, а угол С – самый большой в треугольнике.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольникам. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется египетским.

2. Доказательство теоремы о градусной мере угла между хордой и касательной, проведенной через ее конец. Построение касательной к окружности, проходящей через данную точку, не лежащую на окружности.

 

3. Задача по теме «Подобие».

Билет № 21

4. Теорема синусов. Следствие из теоремы.

5. Доказательство теорем об углах, образованных пересекающимися хордами и секущими, проведенными из одной точки к окружности.