Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Определение вектора, его длины. Равные и противоположные векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления: от одного конца к другому и наоборот. Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем началом, а другой – концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. ® В Конец вектора А Вектором, или направленным отрезком, Начало вектора называется отрезок вместе с его направлением.
На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например . Первая буква обозначает начало вектора, вторая – конец. Векторы часто обозначают и одной латинской буквой со стрелкой над ней: Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, а на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить . Нулевой вектор обозначается символом . Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора () обозначается так: . Длина нулевого вектора считается равной нулю: . Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
· М A B F
· D E C
Векторы (вектор нулевой) коллинеарные, а векторы , а также не коллинеарны. Если два ненулевых вектора и коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы и называются сонаправленными, а во втором – противоположно направленными.
Два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными (противоположно направленными) если их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, проходящей через начала. Если векторы и сонаправлены, то пишут: , а если они противоположно направлены, пишут: ¯ . Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. Условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. Ненулевые коллинеарные векторы обладают следующими свойствами:
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Пусть - два вектора. Отметим произвольную B точку А и отложим от этой точки вектор , равный . Затем от точки В отложим вектор , равный . A C Вектор называется суммой векторов . Сумма векторов и обозначается так: Суммой векторов называется вектор , началом которого является начало вектора , конечной точкой будет конец вектора , отложенного от конца вектора . Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Cправедливо равенство . Правило треугольника можно сформулировать также следующим образом: если А, В и С – произвольные точки, то . Это равенство справедливо для произвольных точек А, В и С, в частности, в том случаае, когда две из них или все три совпадают. Рассмотрим свойства сложения векторов. Теорема. Для любых векторов , и справедливы равенства:
1. + = + (переместительное свойство) 2. ( + ) + = + ( + ) (сочетательное свойство) Доказательство. 1. Рассмотрим случай, когда векторы не коллинеарны. B C От произвольной точки А отложим векторы параллелограмм ABCD. По правилу треугольника . Аналогично . Отсюда следует, что А D + = +
B C 2. От произвольной точки А отложим вектор , от точки В – вектор , а от точки С – вектор . Применяя правило треугольника, получим: A D
( + ) + = + ( + ) = Þ ( + ) + = + ( + ). При доказательстве свойства 1 мы обосновали так называемое правилопараллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы и и построить параллелограмм ABCD. Тогда вектор равен + . Правило параллелограмма часто используется в физике, например при сложении двух сил. Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Правило построения суммы нескольких векторов называется правилом много - угольника. Правило многоугольника можно сформулировать также следующим образом: если А1, А2, …, Аn - произвольные точки плоскости, то . Это равенство справедливо для любых точек А1, А2, …, Аn, в частности, в том случае, когда некоторые из них совпадают. Например, если начало первого совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.
+ + + + =
Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору . Разность векторов и обозначается так: - . Рассмотрим задачу о построении разности двух векторов. Задача. Даны векторы и . Построить вектор - . Решение. А Отметим на плоскости произвольную точку О и
отложим от этой точки векторы и . - По правилу треугольника , или . Таким образом, сумма векторов и равна вектору О В По определению разности векторов это означает, что , т.е. вектор искомый. Введем понятие вектора, противоположного данному. В Пусть - произвольный ненулевой вектор. Вектор называется противоположным вектору , если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены .
Вектор является противоположным вектору . Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор. Вектор, противоположный вектору , обозначается так: - . Очевидно, + (- ) = . Теорема. Для любых векторов и справедливо равенство - = + (- ). Доказательство. По определению разности векторов ( - ) + = . Прибавив к обеим частям этого равенства вектор (- ), получим: ( - ) + + (- ) = + (- ), или ( - ) + = + (- ), откуда - = + (- ). Отметим на плоскости произвольную точку О и отложим от этой точки вектор . Затем от точки А отложим вектор По теореме о - разности векторов - = + (- ), поэтому - = т.е. вектор искомый. Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы и сонаправлены при k ³ 0 и противоположно направлены при k < 0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение вектора на число k обозначается так: k .
3
- 2
Из определения произведения вектора на число следует, что: 1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор; 2) для любого числа k и любого вектора векторы и k коллинеарны.
Доказательство. Если k ¹ 0, l ¹ 0, ¹ , то оба вектора (k l) и k (l ) имеют одну и ту же длину, равную , и одно и то же направление. Это направление такое же, как и у , если k и l одного знака, и противоположно , если k и l разного знака. 2)
О k А l В
Если сумма k + l > 0, то векторы (k + l) и k + l будут сонаправлены с вектором и иметь одинаковые длины: (k + l) = k + l . Если (k + l) < 0, то (-k – l) > 0 и, по доказанному, (-k - l) = - (k + l ). Откуда умножением на (-1) получаем (k + l) = k + l . А 3) А1
О + В1 В
D ОАВ ~ D ОА1В1 с коэффициентом подобия k, поэтому . С другой стороны, Таким образом, k( + ) = k + k .
|
|||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-10-24; просмотров: 143; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.205.223 (0.07 с.) |