Условия однозначности, начальные и граничные условия

Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление в самом общем виде, т. е. описывает класс явлений теплопроводности. Чтобы рассмотреть любой конкретный процесс, следует дать дополни­тельное математическое описание этого конкретного процесса теплопроводно­сти, называемое условиями однозначности (единственности), которые включают в себя:

1 - геометрическую форму и размеры тела, в котором протекает процесс:

2 - граничные условия, характеризующие физическую связь тела с окружающей средой;

3 - начальные условия распределения температур в начальный момент времени и условия протекания процесса во времени;

4 - физические свойства тела и окружающей среды, определяемые физическими параметрами;

5 - интенсивность и распределение внутренних источников теплоты.

Совокупность начальных и граничных условий называют краевыми условиями.

Начальные условия при нагреве (или охлаждении) тела ска­зываются только в начальный период, но по истечении некоторого вре­мени наступает регулярный режим, при котором распределение темпе­ратур в теле определяется только граничными условиями и не зависит от начальных условий.

Граничные условия задаются соответственно способу нагрева (ох­лаждения), т. е. воздействию окружающей среды на тело.

1. Если задается изменение температуры на поверхности тела во вре­мени t_пов = f (τ), то это отвечает граничным условиям первого рода. На практике встречаются случаи нагрева или охлаждения при заданном из­менении температуры на поверхности, например по прямолинейному за­кону t _пов = t ₀ + bτ. При очень интенсивном теплообмене температура стенки близка к температуре среды, т.е. t_окр = t_пов, и этот случай близок к условиям первого рода.

2. Если на поверхности тела задана плотность теплового потока, то мы имеем граничные условия второго рода. По закону Фурье

                                                                                         (4.15)

Градиент температуры относится к точке тела, расположенной в не­посредственной близости от поверхности тела (х = + 0).

3. Граничные условия третьего рода соответствуют случаю конвек­тивного теплообмена с поверхностью тела (конвективной теплоотдаче). Тепловой баланс на границе тела имеет вид:

                                                  ( 4.16 )

Этот случай часто применяют при решении практических задач.

Различают два режима распространения тепла в теле:

а) при  установившемся (стационарном) режиме, когда температурное поле тела не изменяется во времени, т. е. когда температура каждой точки постоянна (dt /дх = 0 );

б) при  неустановившемся (нестационарном) ре­жиме, когда происходит нагрев или охлаждение тела, т, е. когда температурное поле изменяется с течением времени.

На рис. 4.5 показан процесс одностороннего прогрева плоской стенки (пластины). Сначала нагревается внутренняя поверхность стен­ки. Постепенно теплота распространяется все глубже в толщу материала, и, наконец, после более или менее продол­жительного времени наступает установив­шийся процесс распространения теплоты. Это происходит, когда стенка вполне прогрелась и теплота больше не расходуется на увеличе­ние энтальпии ее материала, а температура ее остается неизменной.

Рис. 4.5. Процессы прогрева плоской стенки: кривые показывают распределение температур через время τ₁, τ₂, τ₃ и т.д. от начала нагрева.

На практике процессы нагревания и ох­лаждения в условиях нестационарных ре­жимов встречаются очень часто. Так, в промышленных печах изделия подвергаются на­греву для тепловой обработки материала.

В регенеративных теплообменниках греющей средой сначала нагревается тепло­емкая насадка, а затем эта насадка отдает теплоту нагреваемой среде. Принцип регене­рации используется и в отопительных комнатных печах: в то время когда они топятся, разогревается кладка, а после закрытия трубы тепло нагретой кладки постепенно распространяется по помеще­нию, где установлена печь.