Метастратегии и метарасширения

Смешанные стратегии определяются как случайные величины, реализующиеся в виде чистых стратегий. Дальнейшее расширение понятия стратегии сводится к пониманию новых, обобщенных стратегий, как функции, в которой исходные стратегии принимаются константами. В качестве аргументов, от которых целесообразно рассматривать функции – стратегии, можно брать стратегии других игроков.

Далее мы ограничимся случаем, когда каждый раз рассматривается функция от стратегии только одного игрока.

Определение 9. В бескоалиционной игре всякая функция F_kij : X_k ® X_j (которая исходя из стратегии X_k игрока k определяет стратегию X_j игрока j называется метастратегией игрока j (в ответ на стратегию игрока k).

Содержательно всякую метастратегию F_kij можно понимать как способ выбора игроком j некоторой своей стратегии в зависимости от получаемой им информации о стратегии, выбираемой игроком k. Если рассматривать ситуацию в бескоалиционной игре как некоторое соглашение, некоторый договор между игроками, а общую стратегию – как принимаемое на себя в договоре обязательство, то метастратегию можно понимать как своего рода условное обязательство: “в случае если игрок k поступит так-то, я, игрок і, выбираю такую-то свою стратегию, а если этак-то, то такую-то”.

Очевидно, множество всех метастратегий і в ответ на стратегию k можно изобразить в степени множеств .

Определение 10. Бескоалиционные игры G, с тем же множеством игроков N, что и игра G называется метаигрой над игрой G (метарасширением игры Г), если для некоторых j, k ÎN

и для любой метастратегии y _iÎY_i и любого игрока і ÎI

,

где x _k – стратегия игрока k, входящая в ситуацию C, Н – функция выигрышей в игре Г.

Очевидно, процесс образования метаигр (метарасширений игр) поддается неограниченному интегрированию: от метаигры можно переходить к ее метаигре (называемой второй метаигрой), от нее к третьей метаигре и т.д. В этом отношении метарасширения игр отличаются большим разнообразием, чем смешанные расширения.

Для метастратегических расширений доказаны следующие важные теоремы.

Теорема 3. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет в своем первом метарасширении ситуации равновесия.

Доказанная теорема не противоречит той возможности, что ситуацией равновесия может обладать уже сама исходная игра Г.

Теорема 4. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет в своем третьем метарасширении ситуацию, которая является одновременно ситуацией равновесия и оптимальной по Парето.

Пример. Биматричная игра 2х2 имеет следующие матрицы выигрышей игроков А и В:

В соответствии с выражениями (5.17), (5.18) и (5.19) находим приемлемые ситуации (X,Y) игрока 1:

а)  (q может быть в любом интервале [0, 1];

б)  (ситуация невозможна);

в)  (ситуация невозможна).

В соответствии с выражениями (5.25), (5.27) и (5.28) находим приемлемые ситуации (X,Y) игрока 2:

а)  (р может быть любым в интервале [0, 1];

б)   (ситуация невозможна);

в)   (ситуация невозможна);

Для наглядности на рис. 5.6 изображены зигзаги, описывающие и невозможные ситуации за пределами допустимых изменений вероятностей p,q).

 

Рис. 5.6

Единственной ситуацией равновесия в рассматриваемой игре оказывается ситуация (1,1). В этой ситуации каждый из участников теряет 8. Вместе с тем очевидно, что в ситуации (0,0) каждый игрок теряет лишь по единице. Однако эта ситуация неустойчива, каждый игрок, изменяя в ней произвольным образом свою стратегию, увеличивает свой выигрыш.

Множество всех реализуемых векторов выигрышей для рассматриваемой игры имеет вид, изображенный на рис. 5.7.

 

Рис. 5.7

Очевидно, что ситуации с выигрышами (–1, –1), (–10,0), (0,–10) являются оптимальными по Парето. При этом первая из них, в которой получаются наибольшие выигрыши (–1,–1) для каждого из игроков лучше, чем равновесная.

Противоречие между осуществимостью ситуации, выражаемой в виде равновесности и ее выгодности, которой соответствует оптимальность по Парето, имеет по существу ту же природу, что и противоречие между максиминным и минамаксным выигрышами. Поэтому оно должно разрешаться при помощи аналогичных приемов, состоящих в расширении уже имеющихся стратегий, т.е. переходу к метарасширениям.

Первая метастратегия игрока 2 состоит в выборе им своей второй стратегии в ответ на вторую стратегию игрока 1 и первой стратегии в ответ на первую.

Вторая метастратегия игрока 1 состоит в выборе им второй своей стратегии, если игрок 2 выберет ту же стратегию, что и 1 и в выборе им своей первой стратегии во всех остальных случаях.

Содержательно это можно представить себе так, что игрок 2 исходит из тезиса “око за око”, а игрок 1 – из более изощренных соображений, которые можно расценить как эгоцентризм (“поддерживать тех, кто действует так же, как я) и ксенофобию (“выступаю против всех тех, кто действует иначе, чем я”).

 

ТЕСТЫ

(В – Верно, Н – Неверно)

 

1. В бескоалиционных играх могут рассматривать конфликты двух и более игроков.

2. В бескоалиционных играх могут рассматриваться конфликты только с нулевой суммой.

3. Конечная бескоалиционная игра двух игроков с ненулевой суммой называется биматричной игрой.

4. В бескоалиционных играх принцип максимина не всегда является принципом, по которому находится решение игры.

5. Ситуация в бескоалиционной игре, приемлемая для всех игроков, называется ситуацией равновесия (оптимальной по Нэшу).

6. В бескоалиционных играх как оптимальные следует квалифицировать не действия того или иного игрока, а совокупность действий всех игроков.

7. В бескоалиционной игре решение игры – это, чаще, нахождение ситуаций равновесия.

8. Игроку в бескоалиционной игре может быть выгодным информировать противника о своей стратегии.

9. В оптимальной по Парето ситуации игроки могут совместными усилиями увеличить выигрыш какого-либо из игроков, сохранив выигрыши всех остальных игроков.

10. Ситуации равновесия не отличаются от ситуаций оптимальных по Парето.

11. Ситуации оптимальные по Парето находить труднее, чем ситуации равновесия в той же бескоалиционной игре.

12. В бескоалиционной игре кооперация игроков может быть им выгодна.

13. В теореме Нэша утверждается, что в каждой бескоалиционной игре существует хотя бы одна ситуация равновесия.

14. Любая конечная бескоалиционная игра имеет конечное и четное число ситуаций равновесия.

15. Метастратегия понимается как способ выбора игроком j своей стратегии в зависимости от получаемой им информации о стратегии, выбираемой игроком k.

16. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет в своей первом метарасширении ситуации равновесия.

17. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет в своей третьем метарасширении ситуацию, которая является одновременно ситуацией равновесия и оптимальной по Парето.

 

(Ответы: 1 – В; 2 – Н; 3 – В; 4 – В; 5 – В; 6 – В; 7 – В;  8 – В; 9 – Н; 10 – Н; 11 – Н; 12 – В; 13 – В; 14 – Н; 15 – В; 16 – В; 17 – В.)

 

ЗАДАЧИ

 

І. Найти ситуации оптимальные по Парето и ситуации устойчивые по Нэшу для следующих биматричных игр:

1.

2.    

3.

4.    

5.

6.    

7. 

8. 

ІІ. Решить бескоалиционную игру “Экологический конфликт”.

Формулировка игры. Два промышленных предприятия (А и В), расположенные вблизи обширного водоема, берут из него воду для технических нужд и после использования сбрасывают ее обратно в водоем. Если суммарный объем сбрасываемой (загрязненной) воды не превышает некоторого предела d, то происходит ее естественное очищение, и общий водный ресурс сохраняется. Если же указанный предел нарушен, то загрязненность водоема интенсивно растет. Возникает проблема его восстановления за счет предприятий и уплаты штрафов, общая стоимость чего составляет Q.

Чтобы избежать неприятных последствий, приходится строить очистные сооружения, состоящие из отдельных стандартных блоков, рассчитанных на определенные объемы пропускаемой через них воды (пусть каждый блок восстанавливает 25% используемой воды). Затраты на приобретение, монтаж и эксплуатацию одного блока равны С.

Суть конфликта, возникающего между предприятиями, сводится к их стремлению обеспечить себе благоприятные условия деятельности путем более свободного расходования природной воды. Это отрицательно влияем на состояние источника и через него – на ход производства, качество продукции обоих предприятий. Все оказывается взаимосвязанным, и появляется заинтересованность в поиске решений, приемлемых для конфликтующих сторон, хотя никакой договоренности между ними не предусматривается.

Математическая модель. Данный конфликт можно представить как бескоалиционную игру двух лиц следующим образом.

Пусть количество воды, потребляемой каждым предприятием в его технологическом цикле равно единице (100 т, 10 цистерн, и т.д.). Количество очищаемой воды составляет 1 – х на предприятии А; 1 – y на предприятии В, где чистые стратегии игрока А = |0; 0,25; 0,5; 0,75; 1|, в зависимости от числа применяемых очистных блоков. Чистые стратегии игрока В = |0; 0,25; 0,5; 0,75; 1|.

Расходы предприятия А составляют:

4С(1 – х), если х + у £ d;

4С(1 – х) + Q, если х + у > d,

а расходы предприятия В –

4С(1 – у), если х + у £ d;

4С(1 – у) + Q, если х + у > d.

Данные формулы позволяют составить платежные матрицы игроков А и В. Для случая  имеем

В А	В 4	В 3	В 2	В 1	В 0
А 4	4С      4С	4С      3С	4С+ Q 2С+ Q	4С+ Q   С+ Q	4С+ Q      Q
А 3	3С      4С	3С+ Q 3С+ Q	3С+ Q 2С+ Q	3С+ Q С+ Q	3С+ Q      Q
А 2	2С+ Q 4С+ Q	2С+ Q 3С+ Q	2С+ Q 2С+ Q	2С+ Q С+ Q	2С+ Q      Q
А 1	С+ Q 4С+ Q	С+ Q 3С+ Q	С+ Q 2С+ Q	С+ Q С+ Q	С+ Q      Q
А 0	Q 4С+ Q	Q 3С+ Q	Q  2С+ Q	Q   С+ Q	Q        Q

 

Индекс при чистых стратегиях игроков указывает на количество используемых очистных блоков (например А ₃ – предприятие А использует 3 очистных блока; В ₀ – предприятие В не использует ни одного очистного блока).

Найти ситуации оптимальные по Парето и ситуации равновесия по Нэшу при следующих исходных данных:

9. С >> Q;                10. С << Q;

11. 5С = Q;               12. 5С = Q; ;

13. 4С = Q; ;  14. 2С = Q; ;

15. 2С = Q; ;   16. С = 3 Q; ;

17. С = 2 Q; ;  18. С = Q; ;

19. С = Q; ;    20. С = 4 Q; .

ІІІ. Найти множества всех ситуаций оптимальных по Парето в следующих биматричных играх:

21.    

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Наука, 1980. – 206 с.

2. Воробьев Н.Н, Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.: Наука, 1985. – 272 с.

3. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. – М.: Мир, 1985. – 200 с.

4. Морозов В.В. Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 1986. – 287 с.

5. Ермольев Ю.М., Ляшко И.И., Михалевич В.С. Тюптя В.И. Математические методы исследования операций. – К.: Выща школа, 1979. – 312 с.

6. Таха Х. Введение в исследование операций. Кн.2. – М.: Мир, 1985. – 479 с.

7. Костевич Л.С., Лапко А.А, Теория игр. Исследование операций. – Минск: Вышэйшая школа, 1982. 229 с.

 

[1] В.Парето – итальянский экономист.