Качественная оценка элементов платежной матрицы

Очевидной трудностью при использовании теории игр является задание элементов платежной матрицы с требуемой точностью. Вместе с тем эту задачу не нужно и переоценивать. Использование, например, свойств 1 и 2 из параграфа 2.6, позволяет находить оптимальные стратегии задавая лишь относительные значения элементов платежной матрицы. Например, если в платежной матрице имеется всего три различных значения элементов платежной матрицы, то в этом случае совершенно не важно, какое значение имеют наименьший и наибольший платежи. Единственно, что имеет значение - это относительное положение третьего платежа.

Таким образом, теория игр может дать важные результаты даже в тех случаях, в которых точные оценки платежей затруднены. В частности, имеется слабая форма оценки платежей, называемая упорядочением. Она заключается в расположении платежей по порядку их относительной величины. Существуют игровые ситуации, для которых не требуется ничего большего, чем определение порядка расположения платежей по величине. В других игровых ситуациях знание порядка платежей позволяет сделать частичные выводы относительно оптимальных стратегий и цены игры.

Пусть, например, платежи оцениваются как плохие (п); удовлетворительные (у), хорошие (х) или отличные (о), а матрица игры имеет вид

 

Bj Ai	B1	B2	B3	B4	B5	a i
A1	п	о	х	о	х	п
A2	у	у	х	о	х	у*
A3	п	х	о	о	х	п
A4	у	о	о	п	о	п
b j	у*	о	о	о	о

 

В этой игре a = b =y, т.е. игра решается в чистых стратегиях. Игрок А должен придерживаться своей второй стратегии, а игрок В - стратегии В₁. Цена игры – «удовлетворительно».

Пусть игра имеет седловую точку в клетке, отмеченной звездочкой.

 

	B1	B2	B3	B4	B5	B6
A1
A2
A3
A4			*
A5
A6
A7

 

Так как седловая точка отмечает наименьшее число в этой строке и наибольшее число в столбце, то все остальные числа в данной строке (столбце) могут быть какими угодно, лишь бы число, отмеченное звездочкой, оставалось наименьшим в строке (наибольшим в столбце). Наконец, все остальные числа в матрице, которые не попали в строку и столбец, соответствующих оптимальным стратегиям, могут быть вообще какими угодно. Их значения не влияют ни на оптимальный способ ведения игры, ни на ее цену.

Пример. Решить игру, платежная матрица которой имеет вид

Bj   Ai	B1	B2	B3
A1	п	о	у
A2	х	у	х
A3	п	у	о

 

Как видно стратегия В₁ доминирует стратегию В₃, далее стратегия А₁ будет доминировать стратегию А₃, а, следовательно, исходную игру можно свести к игре 2*2:

 

Bj   Ai	B1	B2	a i
A1	п	о	п
A2	х	у	у*
b j	х*	о

 

Таким образом, игрокам не следует использовать стратегии А₃ и В₃. Так как a =у не равняется b =х, то игра не имеет седловой точки и должна решаться в смешанных стратегиях.

Частоты применения своих стратегий игроком А равны:

;

.

Частоты применения своих стратегий игроком В равны:

;

,

таким образом, частота применения стратегии А₁ пропорциональна разности между “хорошо” и “удовлетворительно”, а стратегии А₂ пропорциональна разности между “отлично” и “плохо”. Ясно, что стратегия А₁ должна применяться реже, чем стратегия А₂ независимо от того, какие упорядоченные числа будут приписаны этим понятиям.

Положение игрока В несколько более неопределенно. Он должен применять стратегию В₁ с частотой пропорциональной разности между “отлично” и “удовлетворительно”, а стратегию В₂ - с частотой, пропорциональной разности между “хорошо” и “плохо”. Здесь неясно, какая разность больше.

Хотя в данном примере мы не получили строгого решения, но полученное решение дает ориентацию, как следует себя вести в исходной слабо определенной ситуации.