Ситуации, оптимальные по Парето

Как уже отмечалось, формальное понятие оптимальности призвано отражать различные варианты содержательных представлений об устойчивости, выгодности и справедливости. Можно считать, что устойчивость ситуации проявляется в ее равновесности.

Другой вариант устойчивости ситуации в большей степени, чем равновесность, отражающей черты ее выгодности, состоит в ее оптимальности по Парето[1].

Определение 6. Ситуация х ₀ в бескоалиционной игре называется оптимальной по Парето, если не существует ситуации х ÎC, для которой имеет место векторное неравенство

, для всех іÎІ.                            (5.2)

Иными словами, в оптимальной по Парето ситуации игроки не могут совместными усилиями увеличить выигрыш кого-либо из них, не уменьшив при этом выигрыш кого-либо другого.

Подчеркнем различие ситуации равновесия от ситуации, оптимальной по Парето: в первой ни один игрок, действуя в одиночку, не может увеличить свой собственный выигрыш; во второй, – все игроки, действуя совместно, не могут (даже нестрого) увеличить выигрыш каждого.

Вопросы об оптимальных по Парето ситуациях решаются в принципе проще, чем аналогичные вопросы о ситуациях равновесия (оптимальных по Нэшу).

Проиллюстрируем графический метод определения ситуаций оптимальных по Парето. На рис. 5.1 изображено множество возможных стратегий х ₁, х ₂ двух игроков. Каждой точке х ÎC соответствует точка на множестве Н значений функций выигрышей Н₁(х) и Н₂(х) (рис. 5.2).

 

 

Рис. 5.1                                Рис. 5.2

На рис. 5.2 дуга АСВ соответствует множеству ситуаций оптимальных по Парето, так как никакими совместными усилиями игроков, нельзя увеличить выигрыш одного из них, не уменьшив при этом выигрыш другого.

Определение 7. Игра  называется аффинно эквивалентной игре G, если число игроков , стратегии одной игры ,  (отсюда следует, что игры  и  имеют одно и то же множество ситуаций), а функции выигрыша

,

где , .

Различие между двумя аффинно эквивалентными играми по существу состоит в различии начальных капиталов игроков и в соотношениях единиц измерения выигрышей, определяемых соответственно величинами C_i и k_i.

Для однородно аффинно эквивалентных игр k_i=k, i N.

Очевидно, что для антагонистических игр понятия аффинной эквивалентности и однородной аффинной эквивалентности совпадают.

Теорема 1. Всякая бескоалиционная игра с постоянной суммой аффинно эквивалентна некоторой игре с нулевой суммой.

Теорема 2. Аффинно эквивалентные игры имеют одни и те же оптимальные по Парето ситуации.

Рассмотрим пример для нахождения ситуации оптимальной по Парето.

Пример 2. Игра “Дилемма заключенного”

Каждый из двух игроков располагает двумя стратегиями: А₂ и В₂ – стратегии агрессивного поведения, а А₁ и В₁ – миролюбивое поведение. Предположим, что “мир” (оба игрока миролюбивы) лучше для обоих игроков, чем “война”. Случай, когда один игрок агрессивный, а другой миролюбивый, выгоднее агрессору. Пусть матрицы выигрышей игроков 1 и 2 в данной биматричной игре имеют вид

, .

Для обоих игроков агрессивные стратегии А₂ и В₂ доминируют мирные стратегии А₁ и В₁. Таким образом, единственное равновесие в доминирующих стратегиях имеет вид (А₂,В₂), т.е. постулируется, что результатом некооперативного поведения является война. В то же время исход (А₁,В₁) (мир) дает больший выигрыш для обоих игроков. Таким образом, некооперативное эгоистическое поведение вступает в противоречие с коллективными интересами. Коллективные интересы диктуют выбор мирных стратегий. В то же время, если игроки не обмениваются информацией, война является наиболее вероятным исходом.

В данном случае ситуация (А₁, В₁) является оптимальной по Парето. Однако эта ситуация неустойчива, что ведет к возможности нарушения игроками установленного соглашения. Действительно, если первый игрок нарушит соглашение, а второй не нарушит, то выигрыш первого игрока увеличится до трех, а второго упадет до нуля и, наоборот. Причем, каждый игрок, не нарушающий соглашение, теряет больше при нарушении соглашения вторым игроком, нежели в том случае, когда они оба нарушают соглашение.

Как видим, в отличие от примера 1 (игра “семейный спор”), где кооперация игроков была им выгодна, в этом примере кооперация не выгодна для игроков.