Введение: предпосылки создания аиус. Эволюция систем автоматизации

Введение: предпосылки создания АИУС. Эволюция систем автоматизации

Современный этап развития производства характеризуется тем, что владельцы того или иного производственного объекта стараются добиться максимально высоких эксплуатационных характеристик технологического оборудования (максимизации производительности оборудования, снижения себестоимости и минимизации бракованных изделий). Достижение этих характеристик возможно только при условии наличия эффективных систем управления техническим или производственным объектом. Повышение эффективности систем управления возможно лишь при использовании, во – первых, современных методов и алгоритмов управления, а во – вторых, при использовании цифровых средств обработки информации (ЦСОИ). Такие системы, причём с участием человека в контуре управления называются автоматизированными информационно – управляющими системами (АИУС). Схема взаимодействия ЦСОИ, оператора и объекта управления приведена на рис.1.1.

Рис.1.1. Структура АТК.

 

Обозначения:

АИУС — автоматизированная информационно – управляющая система;

ТО (ПО) — техническое (производственное) оборудование;

ЦСОИ — цифровое средство обработки информации;

АТК – автоматизированный технологический (производственный) процесс.

                       

Цели и задачи курса

В результате изучения курса АИУС необходимо знать и уметь:

1. Идеологию построения АИУС, структуру и состав организационного, технического, математического, программного и информационного обеспечения АИУС, проблемы и перспективы создания АИУС.

2. Проектировать фрагменты функциональной и технической структуры АИУС. Разрабатывать и исследовать при помощи ЭВМ алгоритмы и программы АИУС

 

Литература:

1. «Справочник проектирования АСУТП». Под ред. Г. Л. Смилянского.

2. Е. П. Стефани, «Основы проектирования АСУТП».

3. «Технические средства АСУТП», Родионов В. Д и др.

4. «Микропроцессорные автоматические системы регулирования», Солодовник и др.

5. Программируемые контроллеры систем автоматизации: Учебное пособие. ЮРГТУ, 1999г.

Журналы: 1. «Мир компьютерной автоматизации»;

             2. «Приборы и системы управления»;

                              3. «Современные технологии управления».

Автоматизированные информационно – управляющие системы

Общие понятия

Элемент — часть объекта или системы, которая при данном исследовании, анализе не подвергается дальнейшей детализации (разделению).

Система — совокупность взаимодействующих элементов объединённых в единое целое. Причём в зависимости от того, как связаны друг с другом элементы, меняется функциональное назначение системы.

Структура — способ объединения элементов системы друг с другом.

Частным случаем систем являются так называемые целенаправленные системы, которые представляют собой совокупность взаимодействующих элементов, объединённых единством целей и, как правило, имеющий целенаправленный характер взаимодействия.

Производственные, технологические, технические объекты, технические системы – это целенаправленные системы. Процессы, происходящие в них, должны выполняться в соответствии с определёнными правилами (инструкциями) или регламентом для того, чтобы достигались поставленные цели, и обеспечивать достижение этих правил должна соответствующая система управления.

Рис.2.1.1. Схема системы управления ТОУ.

 

Обозначения:

ТОУ — технический объект управления.

ТС — техническая система.

ТП — технологический процесс.

 

                                                   

Т.к. количество информации, которую надо принять и оперативно переработать для формирования управляющих воздействий, обеспечивающих нормальное состояние объекта, даже для объектов среднего уровня сложности, очень велико, то организация эффективной системы управления невозможна без использования ЦСОИ и управляющего персонала (оператора, диспетчера).

При проектировании современных систем управления должен реализовываться, так называемый, научно-обоснованный подход, требования которого следующие:

1. Должна быть разработана (придумана), так называемая, математическая модель объекта: .

2. Должен быть разработан критерий эффективности (КЭ) функционирования объекта и поставлена задача его оптимизации: . Если есть ММ объекта, то КЭ можно представить в виде:

3. Ограничения .

При наличии вышеуказанных компонент может быть поставлена задача оптимального управления объектом, которая формулируется следующим образом: необходимо в каждый интервал времени t_i найти такой вектор управляющих воздействий , при котором удовлетворяется ограничение (3), а критерий эффективности (2) достигает своего экстремального значения, определяемого для данного времени:

Для реализации научно-обоснованного подхода и обеспечения оптимального управления надо иметь в своём распоряжении математические методы, позволяющие находить оптимальный вектор управляющих воздействий .

Реализация этих методов возможна при наличии соответствующих аппаратных, программных, алгоритмических средств в составе АИУС.

АИУС — человеко-машинная система, обеспечивающая автоматизированный сбор и обработку информации о состоянии объекта, причём так, что достигается оптимальное управление этим объектом в плане выбранного критерия эффективности.

 

 

АСУТП. Определения и функции

АСУТП – разновидность АИУС, предназначенная для выработки и реализации управляющих воздействий на технические объекты управления в соответствии с принятым критерием эффективности с целью его оптимизации.

Задача АСУТП аналогична вышеуказанной постановке задачи (§2.2) оптимального управления. Для реальных технических объектов модели, критерий эффективности, ограничения определяются спецификой процессов в этих объектах.

Для АСУТП в качестве критерия эффективности обычно используются такие критерии эффективности, как:

1) себестоимость выпускаемой продукции,

2)  производительность технического (технологического) оборудования,

3)  качество выпускаемой продукции,

4)  критерий экономической эффективности, который можно записать в виде:

W=D – 3_э – К*3_к → max

 

К = 1/Т_ок,

 

где D – доходы от реализации готовой продукции полученные за счет АСУП;

  З_э – затраты годовые эксплуатационные;

  З_к – затраты капитальные на внедрение АСУТП;

  K – коэффициент;

  Т_ок – срок окупаемости.

Чтобы добиться оптимального управления в АСУТП обычно реализуется множество (группа) функций или задач. Каждая функция АСУТП – это совокупность действий системы, направленных на достижение промежуточных и конечных целей. При этом следует различать 2 разновидности функций:

– информационные;

– управляющие.

К информационным функциям относятся те функции, которые обеспечивают представление информации об объекте управления в нужные моменты времени и соответствующей форме, во-первых, оператору; во-вторых, тем средствам, которые формируют управляющее воздействие; в-третьих, внешним потребителям:

1. Сбор и первичная обработка информации о технологических и технических параметрах объектов управления.

2. Контроль за основными параметрами объекта, т.е. непрерывная проверка соответствия фактических параметров объекта регламентным пределам и немедленное сообщение персоналу в случае выявления несоответствия.

3. Регистрация параметров объекта в случае выхода их за регламентные пределы, а также регистрация времени, в которое такая ситуация существует.

4. Информирование оператора по его запросу о состоянии объекта.

5. Регистрация значения параметров объекта по запросу оператора.

6. Вычисление, в том числе и по заданию оператора, некоторых параметров, которые не поддаются непосредственному измерению (косвенные измерения).

7. Периодическая регистрация и вычисление технико-экономических показателей.

8. Обнаружение аварийных и предаварийных ситуаций на объекте и сигнализация.

9. Прием информации от других систем управления или выдачи им информации

 

Управляющие функции:

Это такие функции, которые обеспечивают требуемое состояние объекта путём анализа этого состояния и выдачи соответствующих воздействий в случае необходимости.

 

К таким функциям относятся:

1. Стабилизация параметров объекта в рамках регламентных пределов путём регулирования их по различным законам.

2. Программное изменение состояния или режима объекта по заранее заданному графику или заранее заданному закону.

3. Регулирование комплекса параметров объекта по заданному закону (каскадное регулирование, взаимосвязанное регулирование).

4. Оптимальное управление объектом в установившемся режиме (для объектов с непрерывным характером процесса).

5. Оптимальное управление объектом в переходных (динамических) режимах (для объектов с непрерывным характером процесса).

6. Распределение материальных потоков между оборудованием объекта и координация работы оборудования объекта с целью обеспечения оптимального управления (для объектов с дискретным характером процессов).

7. Управление пусками и остановками объекта.

8. Защита объекта от аварий путём прекращения подачи аварийно - опасных потоков, либо путём подачи на объект материальных потоков, препятствующих возникновению аварии.

Комплекс функций, которые выполняются в той или иной АСУТП, называют функциональной структурой АСУТП. И она должна входить в комплект проектной документации на АСУТП.

 Пример фрагмент функциональной структуры (рис. 2.3.1.):

 

Рис.2.3.1. Фрагмент функциональной структуры АСУТП.

 

Обозначения:

ФССУ — функциональная структура системы управления.

Д — датчик.

ИУ — исполнительное устройство.

Классификация АИУС

Современные АИУС очень разнообразны и в связи с этим классифицируются по различным признакам. Наиболее распространённые признаки следующие:

1. По характеру объекта управления.

2. По уровню системы управления в общей иерархии.

3. По степени функциональной сложности.

4. По информационной мощности системы управления.

5. По способу разделения функции контроля и управления между оператором и ЭВМ (ЦСОИ).

АСУТП без ЦСОИ

 

 

Рис.2.4.5.1.1. Структурная схема АСУТП без ЦСОИ.

Обозначения:

УИИК – устройство индивидуального измерения и контроля.

УИКВ – устройство измерения и контроля по вызову.

УМИК – устройство массового измерения и контроля.

УСОиРИ – устройство сигнализации, отображения и регистрации информации.

ЦЩУ – центральный щит управления.

МЩУ – местный щит управления.

ПУ – пульт управления.

УДУ – устройство дистанционного управления.

УЛПУ – устройство логико-программного управления.

УЗ – устройство защиты.

Такие человеко-машинные системы в настоящее время используются для управления

автономными, сравнительно простыми объектами с хорошо изученными процессами     (т.е. есть ММО – простая и детерминированная).

Такая система реализует обычно следующий набор функций:

1. Сбор информации о состоянии объекта (аппаратура).

2. Контроль нахождения параметров объекта в регламентных пределах (оператор).

3. Сигнализация, отображение и регистрация информации об объекте (аппаратура).

4. Регулирование параметров объекта в заданных пределах или по заданному графику (аппаратура).

5. Программное управление пусками и остановками объекта (оператор, УЛПУ).

6. Выявление предаварийных и аварийных ситуаций на объекте и принятие мер по их устранению (аппаратура, оператор).

УИИК позволяет измерять и контролировать наиболее важные технологические параметры, которые существенно влияют на состояние объекта и на результаты его функционирования.

УИВК обычно применяется для измерения, контроля и наблюдения за менее важными параметрами. Они реализуются обычно с использованием одного показывающего прибора и группы датчиков, которые подключаются к нему через коммутирующее устройство.

УМИК используется в тех случаях, когда надо измерять, наблюдать большое количество однотипных вспомогательных параметров, значения которых во времени изменяются медленно.

Для реализации УМИК, применяются автоматические многоканальные измерительные системы, снабжённые коммутирующими устройствами, связанные с системой световой сигнализации.

УСОиРИ. Его назначение обычно состоит в том, чтобы в момент выхода параметра за допустимые пределы, оператору в наглядной форме предоставлялась информация об этом факте.

УД предназначены для передачи команд от оператора на исполнительные устройства или на задатчики ЛАР.

ЛАР это обычно серийно выпускаемые устройства – локальные регуляторы, которые обеспечивают возможность либо поддерживание параметра в заданных пределах, либо изменение параметра по заданному закону.

УЛПУ реализует логическую последовательность действий по переводу объекта из одного состояния в другое.

УЗ предназначены для выявления ненормальных ситуаций на объекте, и для защиты его от повреждений и разрушений.

Для обеспечения надёжности рекомендуется, чтобы данные для решающей части устройств зашиты и исполнительные устройства, на которые действуют устройства защиты, были автономными и имели автономные источники питания.

Набор описанных устройств позволяет оператору контролировать состояние объекта и в случае необходимости через пульт управления и устройства дистанционного управление оказать воздействие на объект. Таким образом, эти устройства разгружают оператора от утомительной работы по контролю всех параметров объекта и по управлению всеми параметрами, что даёт ему возможность сосредоточиться на контроле наиболее важных параметров и даёт время на принятие правильных решений в нештатных ситуациях.

Такие системы, хотя и не содержат в своём составе цифровых вычислительных средств, тем не менее являются человеко-машинными системами, которые позволяют с достаточно высокой степенью надёжности и небольшими затратами управлять большой группой технических объектов.

Требования к АИУС. Состав обеспечивающих подсистем АИУС. Этапы создания АИУС

Любая АИУС должна разрабатываться так, чтобы она соответствовала целому комплексу требований, изложенных либо в руководящих технических материалах, либо в документации по разработке системы - техническом задании. К наиболее существенным требованиям можно отнести:

1. Система должна реализовывать весь набор функций по управлению объектом.

2. Система должна обеспечить оптимизацию режимов работы объекта в соответствии с принятым критерием эффективности.

3. Система должна иметь соответствующие: быстродействие, точность алгоритмов, надёжность, габариты, стоимость, энергопотребление и т.д.

4. Система должна отвечать эргономическим требованиям по способам и форме представления информации оператору, по конструкции и формам пульта управления и др. средств, а также по способу размещения аппаратных средств на центральном щите и местных щитах.

5. Система должна быть приспособлена к взаимосвязанному функционированию с другими системами, т.е. обладать свойствами информационной и технической совместимости с другими системами, а также допускать возможность расширения функций и развитие.

Поскольку АИУС сама по себе является сложной системой, к которой предъявляется целый комплекс требований, то стандартами определён состав, так называемых, обеспечивающих подсистем АИУС. Т.е. АИУС строится из отдельных специальных подсистем:

· подсистема МО;

· подсистема АО;

· подсистема ПО;

· подсистема ТО;

· подсистема ИО.

Данный набор подсистем может варьироваться в зависимости от сложности объекта управления, но для крупных объектов обычно создаются все обеспечивающие подсистемы, т.е. в полном наборе.

Для создания АИУС руководящими материалами регламентированы этапы, которые можно представить следующим образом:

1) На стадии технического задания осуществляется предпроектное исследование объекта, оценка возможных функций ситемы, их реализация и формирование требований к системе, оценка возможного экономического эффекта. После первого этапа должен быть решён вопрос о целесообразности продолжения работ.

2) На стадии эскизного проекта осуществляется предварительная разработка функциональной структуры, предварительная разработка алгоритмической структуры, предварительный выбор технических средств.

3) На стадии технического проекта осуществляется:

· системно-технический синтез АИУС;

· аппаратурно-технический синтез АИУС;

· расчёт технико-экономической эффективности АИУС.

4) На стадии рабочего проект осуществляется:

· разработка рабочей документации на системы локальной автоматики;

· разработка рабочей документации на вычислительный комплекс ЦСОИ АИУС;

· составление документации на все виды технических средств, ПО, и ИО АИУС.

5) На стадии 5 осуществляется:

· наладка АИУС;

· приёмо-сдаточные испытания;

· сдача АИУС комиссии.

Полная идентификация

 

В том случае, если априорная информация об объекте отсутствует, т.е. нельзя определится с типом структурной модели, то необходимо: 1)сначала найти структуру модели, а затем уже 2)параметры модели данной структуры.

В соответствии с ГОСТ полная идентификация – это определение структуры и параметров ММ, обеспечивающих наилучшее совпадение выходных координат О и М при одинаковых входных воздействиях.

К настоящему времени накоплен опыт идентификации в узком смысле и используется ряд методов, дающих хороший результат. Методы идентификации, в широком смысле, находятся в стадии разработки. Реализация полной идентификации для некоторых конкретных ОУ осуществлена в большинстве случаев благодаря интуиции и творческим способностям исследователей.

 

3.3. Разработка моделей динамических процессов обобщенным экспериментальным методом (методом Калмана)

 Рассмотрим один из методов параметрической идентификации, хорошо вписывающийся в возможности ЦСОИ.

 Данный метод позволяет строить так называемые внешне подобные модели, и используют принцип так называемого «черного ящика», суть которого сформулирована в теоретической кибернетике и состоит в следующем: Если наблюдать за поведением объекта в различные моменты времени достаточно долго, то можно достичь такого уровня знаний об объекте, который позволяет предсказывать в последующие моменты времени значения , если известны входные воздействия на этот объект .

Для построения динамических моделей ранее использовались методы, для реализации которых необходимо использовать специальные возмущающие воздействия (ступенчатые, синусоидальные), а затем оценить при таких воздействиях поведение выходных координат объекта. К недостаткам таких методов можно отнести следующее:

1) необходимость специальной аппаратуры, с помощью которой осуществляется воздействие на объект.

2) объект фактически должен быть выведен из нормального производственного режима, т.к. вследствие нанесения возмущающего воздействия возможно появления внештатного режима на объекте, в том числе аварийные ситуации.

 Этих недостатков лишен рассматриваемый далее метод, т.к. для его реализации нет необходимости специально наносить специальные возмущающие воздействия, а так же нет необходимости нарушать рабочий режим.

Данный метод хорошо вписывается в те возможности аппаратных средств, которые имеются при создании АИУС, как минимум, выполняющих информационные функции.

Рис. 3.3.1. Схема аппаратных средств для исследования динамической модели.

 

При реализации метода Калмана выполняются определенные этапы в соответствии с последовательностью, представленной на блок-схеме:

     

Рис. 3.3.2. Схема алгоритма метода Калмана.

1) проведение эксперимента по сбору данных об объекте;

2) задание структуры модели объекта в виде разностного уравнения первого порядка;

3) группировка экспериментальных данных в таблице удобной для последующей обработки;

4) вычисление коэффициентов разностного уравнения;

5) проверка полученной ММ на адекватность;

6) выбор модели объекта в виде разностного уравнения более высокого порядка;

7) выдача результатов о коэффициентах разностного уравнения соответствующего порядка.

Выбор модели. (этап 2)

При проведении эксперимента с использованием описанных выше указанных аппаратных средств, непрерывные функции X и Y трансформируются в так называемые решётчатые функции (см. рис. 3.3.1), следовательно, для описания моделей объекта нельзя использовать дифференциальные уравнения, так как они предполагают непрерывность функции. При переходе от непрерывной функции к решетчатой происходит потеря части информации об объекте, но использовать решетчатые функции и разностные уравнения в качестве ММ объекта можно, если следующие условия:

 

т. е. количество параметров должно быть достаточно большим. В связи с этим были предложены модели в виде разностных уравнений, которые могут базироваться на решётчатых функциях. Разностное уравнение 1-го порядка имеет вид:   и являются аналогом ДУ:  

Действительно, вспомним, что:

- это и есть разность 1-го порядка,

где , – период дискретизации, одинаковый во всем диапазоне исследования.

В вышеприведённой формуле мы предположили, что  (Метод Калмана).

Пример: дифференциальное уравнение 1-го порядка приемлемое для непрерывной функции:

Разностное уравнение получается путём подстановки вместо дифференциала  (разности 1-го порядка).

C(Y_i-Y_i-1)+K_iY_i-1=K₂X_i-1, C – константа.

Аналогично можно показать соответствие ДУ 2-го порядка и РУ 2-го порядка и т. д. РУ N-го прядка имеет вид .

Группировка данных. (этап 3)

На этом этапе формируются данные в соответствии со следующей таблицей удобной для определения соответствующих ,

- расчетные значения выходных координат в -ый момент времени,

 - экспериментальные данные.

 

Экспериментальные данные	Расчётные формулы
Y0,X0,Y1	=A0X0+B0Y0
Y1,X1,Y2	=A0X1+B0Y1
…….	……
Yi-1,Xi-1,Yi	=A0Xi-1+B0Yi-1
……	..…..
Ym-1,Xm-1,Ym	=A0Xm-1+B0Ym-1

 

 

Из таблицы видно, что по формулам и экспериментальным данным для каждого момента времени t_i можно определить , но для этого нужно знать значения A₀ и B₀.

Вычисление коэффициентов А₀ и В₀. (этап 4)

Для определения А₀ и В₀ разностного уравнения =A₀X_i-1+B₀Y_i-1 вводится так называемая функция ошибки L и ставится задача нахождения значений А₀ и В₀ при котором L® min:

Для нахождения таких значений А₀ и В₀ при которых L® min необходимо сформировать частные производные L и приравнять их к нулю.

;

 

 

 

или

 

                                  

 

 

упрощая запись, получаем:

Из полученной системы алгебраических уравнений с двумя неизвестными можем определить значения А₀ и В₀. Представим данную систему уравнений в матричной форме:

Из этой системы можно найти значения А₀ и В₀:

Определитель:

Получаем минор A₀ путём замены 1-го столбца квадратной матрицы на матрицу-столбец правой части:

 

минор A₀= = · –()();

 

;

 

минор Bo= = ;

 

.

Проверка полученной математической модели на адекватность (этап 5)

Для реализации этого этапа используются 2 подхода. Оба вычисляют среднеквадратичную ошибку (среднеквадратичное отклонение, СКО) S:

 

 

1) В 1-ом подходе S₁ сравнивается с S_доп. Если S₁≤S_доп(Δ), то модель считается адекватной;

2) 2-й подход. При нём сравниваются S моделей разного порядка S₁ и S₂. Если , то нет смысла выбирать модель на основе разностного уравнения 2-го порядка, а можно оставить модель 1-го порядка. Если указанные оценки дают отрицательный результат, то переходим к следующему этапу.

Выбор модели объекта в виде разностного уравнения более высокого порядка. (Этап 6)

Разностное уравнение 2-го порядка имеет вид:

Начнём заново рассматривать алгоритм, начиная с пункта 3.3.3.

 

 

Этап 3

Экспериментальные данные	Расчётные формулы
Y-1 X-1, Y1,Y0,X0	=A0X0+A1X-1+B0Y0+B1Y-1
Y0,X0,Y1,X1,Y2	=A0X1+A1X0+B0Y1+B1Y0
…….	……
Yi-2,Xi-2,Yi-1,Xi-1,Yi	=A0Xi-1+A1Xi-2+B0Yi-1+B1Yi-2
……	..…..
Ym-2,Xm-2,Ym-1,Xm-1,Ym	=A0Xm-1+ A1Xm-2+B0Ym-1+B1Ym-2

 

Этап 4

; ; ;

 

Получим:

 

После некоторых преобразований получаем систему 4-х уравнений с 4-мя неизвестными А0, А1, В0, В1:

 

Представляем эту систему уравнений в матричной форме:

Для определения А₀, А₁, В₀, В₁ находим миноры:

минорА₀= =…

и аналогично для миноров по А₁, В₀, В₁.

Используя полученное выражение, запишем формулы для определения А0 и В0, А1 и В1.

Этап 5

Для оценки адекватности ММ вычисляем среднеквадратичное отклонение (относительное) по формуле:

; S₂£S_доп.

Разработка неформальных математических моделей

Для некоторых объектов формальная математическая модель нежелательна, в таких случаях надо использовать фундаментальные закономерности, лежащие в основе процессов в данном объекте, а также умение анализировать, обобщать и т.д. Если удаётся построить неформальную математическую модель, то она 1)обеспечивает сходство реакций модели с реакцией объекта, 2)легко адаптируется при перестройке объекта, 3)а также эта ММ работает в более широком диапазоне вариаций входных и выходных параметров, чем диапазон вариаций в процессе эксперимента. В связи с этим такие модели считаются более качественными.

Рассмотрим пример построения неформальной математической модели с использованием теоретико-физического подхода для аппарата-смесителя, который является частью технологической линии в производстве цемента. Этот аппарат нужен, чтобы делать однородную смесь с заданным процентным содержанием компонент.

Рис. 3.4.1. Схема аппарата–смесителя.

 

Сырьё: измельчённый продукт, содержащий такие основные компоненты как: окись кальция (СаО), двуокись кремния (SiO₂), окись алюминия (AL₂O₃).

В данном аппарате измельчённое сырьё интенсивно перемешивается и поступает на выход, причём для стационарного процесса имеет место материальный баланс, т.е. объем сырья на входе в единицу времени равен объему продукта на выходе в единицу времени.

Поскольку относительное или процентное содержание каждого компонента может меняться во входном потоке, то оно меняется и в выходном. Для получения качественного цемента надо уметь прогнозировать относительное содержание компонент в выходном потоке от относительного содержания этих компонент во входном потоке. Следовательно, нужно найти математическую модель:

;

где  - относительное содержание соответствующего компонента в выходном и во входном потоках.

Рассмотрим, как строиться математическая модель. Введем обозначения:

1)  – относительное (процентное) содержание окиси кальция в объёме материалов во входных и выходных потоках;

2) С_вх, С_вых – абсолютное количество окиси кальция в объеме материалов входного и выходного потоков;

3) R_вх,R_вых – скорость потока материалов на входе и выходе;

4) V – объём смесителя;

5) DС_см – абсолютное изменение количества окиси кальция в самом смесителе за время rt;

6)  - относительное изменение содержания окиси кальция в смесителе за время rt.

Используя соотношения материального баланса и считая, что в течении достаточно малого времени  параметры не меняются, можно записать формулы определения абсолютного содержания окиси кальция в входном и выходном потоках за время :

С_вх = ·R·Dt (1)

С_вых = ·R·Dt (2)

Отсюда абсолютное изменение содержания окиси кальция в смесителе.

DС_cм=Свх – C_вых=( – )·R·Dt         (3)

С другой стороны изменение относительного процентного содержания СаО в смесителе составляет:

=DС_см/V (4)

отсюда,

DС_cм= · V                      (5)

Подставляя (5) в (3), получаем:

·V=( – )·R·Dt                 (6)

В связи с тем, что имеет место интенсивное перемешивание измельчённой массы, то состав этой воздушно-пылевой смеси практически одинаков во всем объеме и в том числе с составом в выходном потоке и, следовательно, такое допущение (DС_см»DС_вых) правомерно. Поэтому уравнение (6) можно записать в виде:

= (R/V)·( – )·Dt (7)

Если последнее уравнение записать в виде:

/Dt=(R/V)·( – ), и обозначать (R/V)=w,

то, устремляя Dt→0, получим:

Рассуждая аналогично, можно получить уравнения, связывающие относительные содержания компонент SiO₂ и Al₂O₃ во входном и выходном потоках:

Таким образом, построена неформальная математическая модель объекта.