Проведение эксперимента . (этап 1)

Эксперимент, организованный в соответствии со схемой (рис.3.3.1) даёт воз­можность зарегистрировать и запомнить значения величины X и Y в различные моменты времени

ti	X(ti)	Y(ti)
t -N	X(t -N)	Y(t –N)
···	···	···
t0	X(t0)	Y(t0)
···	···	···
ti-1	X(ti-1)	Y(ti-1)
ti	X(ti)	Y(ti)
···	···	···
t N	X(t M)	Y(t M)

Рис.3.3.1. Решетчатая функция.

Вместо непрерывной функции X(t) имеет место ряд значений Х в различные моменты времени:

упростим запись: ,  - текущий номер такта решётчатой функции, ∆t – интервал квантования по времени или период дискретизации.

В результате такого эксперимента получаем набор статистических данных, которые позволяют в дальнейшем строить ММ объекта экспериментальным методом.

Выбор модели. (этап 2)

При проведении эксперимента с использованием описанных выше указанных аппаратных средств, непрерывные функции X и Y трансформируются в так называемые решётчатые функции (см. рис. 3.3.1), следовательно, для описания моделей объекта нельзя использовать дифференциальные уравнения, так как они предполагают непрерывность функции. При переходе от непрерывной функции к решетчатой происходит потеря части информации об объекте, но использовать решетчатые функции и разностные уравнения в качестве ММ объекта можно, если следующие условия:

 

т. е. количество параметров должно быть достаточно большим. В связи с этим были предложены модели в виде разностных уравнений, которые могут базироваться на решётчатых функциях. Разностное уравнение 1-го порядка имеет вид:   и являются аналогом ДУ:  

Действительно, вспомним, что:

- это и есть разность 1-го порядка,

где , – период дискретизации, одинаковый во всем диапазоне исследования.

В вышеприведённой формуле мы предположили, что  (Метод Калмана).

Пример: дифференциальное уравнение 1-го порядка приемлемое для непрерывной функции:

Разностное уравнение получается путём подстановки вместо дифференциала  (разности 1-го порядка).

C(Y_i-Y_i-1)+K_iY_i-1=K₂X_i-1, C – константа.

Аналогично можно показать соответствие ДУ 2-го порядка и РУ 2-го порядка и т. д. РУ N-го прядка имеет вид .

Группировка данных. (этап 3)

На этом этапе формируются данные в соответствии со следующей таблицей удобной для определения соответствующих ,

- расчетные значения выходных координат в -ый момент времени,

 - экспериментальные данные.

 

Экспериментальные данные	Расчётные формулы
Y0,X0,Y1	=A0X0+B0Y0
Y1,X1,Y2	=A0X1+B0Y1
…….	……
Yi-1,Xi-1,Yi	=A0Xi-1+B0Yi-1
……	..…..
Ym-1,Xm-1,Ym	=A0Xm-1+B0Ym-1

 

 

Из таблицы видно, что по формулам и экспериментальным данным для каждого момента времени t_i можно определить , но для этого нужно знать значения A₀ и B₀.

Вычисление коэффициентов А₀ и В₀. (этап 4)

Для определения А₀ и В₀ разностного уравнения =A₀X_i-1+B₀Y_i-1 вводится так называемая функция ошибки L и ставится задача нахождения значений А₀ и В₀ при котором L® min:

Для нахождения таких значений А₀ и В₀ при которых L® min необходимо сформировать частные производные L и приравнять их к нулю.

;

 

 

 

или

 

                                  

 

 

упрощая запись, получаем:

Из полученной системы алгебраических уравнений с двумя неизвестными можем определить значения А₀ и В₀. Представим данную систему уравнений в матричной форме:

Из этой системы можно найти значения А₀ и В₀:

Определитель:

Получаем минор A₀ путём замены 1-го столбца квадратной матрицы на матрицу-столбец правой части:

 

минор A₀= = · –()();

 

;

 

минор Bo= = ;

 

.

Проверка полученной математической модели на адекватность (этап 5)

Для реализации этого этапа используются 2 подхода. Оба вычисляют среднеквадратичную ошибку (среднеквадратичное отклонение, СКО) S:

 

 

1) В 1-ом подходе S₁ сравнивается с S_доп. Если S₁≤S_доп(Δ), то модель считается адекватной;

2) 2-й подход. При нём сравниваются S моделей разного порядка S₁ и S₂. Если , то нет смысла выбирать модель на основе разностного уравнения 2-го порядка, а можно оставить модель 1-го порядка. Если указанные оценки дают отрицательный результат, то переходим к следующему этапу.

Выбор модели объекта в виде разностного уравнения более высокого порядка. (Этап 6)

Разностное уравнение 2-го порядка имеет вид:

Начнём заново рассматривать алгоритм, начиная с пункта 3.3.3.

 

 

Этап 3

Экспериментальные данные	Расчётные формулы
Y-1 X-1, Y1,Y0,X0	=A0X0+A1X-1+B0Y0+B1Y-1
Y0,X0,Y1,X1,Y2	=A0X1+A1X0+B0Y1+B1Y0
…….	……
Yi-2,Xi-2,Yi-1,Xi-1,Yi	=A0Xi-1+A1Xi-2+B0Yi-1+B1Yi-2
……	..…..
Ym-2,Xm-2,Ym-1,Xm-1,Ym	=A0Xm-1+ A1Xm-2+B0Ym-1+B1Ym-2

 

Этап 4

; ; ;

 

Получим:

 

После некоторых преобразований получаем систему 4-х уравнений с 4-мя неизвестными А0, А1, В0, В1:

 

Представляем эту систему уравнений в матричной форме:

Для определения А₀, А₁, В₀, В₁ находим миноры:

минорА₀= =…

и аналогично для миноров по А₁, В₀, В₁.

Используя полученное выражение, запишем формулы для определения А0 и В0, А1 и В1.

Этап 5

Для оценки адекватности ММ вычисляем среднеквадратичное отклонение (относительное) по формуле:

; S₂£S_доп.

Разработка неформальных математических моделей

Для некоторых объектов формальная математическая модель нежелательна, в таких случаях надо использовать фундаментальные закономерности, лежащие в основе процессов в данном объекте, а также умение анализировать, обобщать и т.д. Если удаётся построить неформальную математическую модель, то она 1)обеспечивает сходство реакций модели с реакцией объекта, 2)легко адаптируется при перестройке объекта, 3)а также эта ММ работает в более широком диапазоне вариаций входных и выходных параметров, чем диапазон вариаций в процессе эксперимента. В связи с этим такие модели считаются более качественными.

Рассмотрим пример построения неформальной математической модели с использованием теоретико-физического подхода для аппарата-смесителя, который является частью технологической линии в производстве цемента. Этот аппарат нужен, чтобы делать однородную смесь с заданным процентным содержанием компонент.

Рис. 3.4.1. Схема аппарата–смесителя.

 

Сырьё: измельчённый продукт, содержащий такие основные компоненты как: окись кальция (СаО), двуокись кремния (SiO₂), окись алюминия (AL₂O₃).

В данном аппарате измельчённое сырьё интенсивно перемешивается и поступает на выход, причём для стационарного процесса имеет место материальный баланс, т.е. объем сырья на входе в единицу времени равен объему продукта на выходе в единицу времени.

Поскольку относительное или процентное содержание каждого компонента может меняться во входном потоке, то оно меняется и в выходном. Для получения качественного цемента надо уметь прогнозировать относительное содержание компонент в выходном потоке от относительного содержания этих компонент во входном потоке. Следовательно, нужно найти математическую модель:

;

где  - относительное содержание соответствующего компонента в выходном и во входном потоках.

Рассмотрим, как строиться математическая модель. Введем обозначения:

1)  – относительное (процентное) содержание окиси кальция в объёме материалов во входных и выходных потоках;

2) С_вх, С_вых – абсолютное количество окиси кальция в объеме материалов входного и выходного потоков;

3) R_вх,R_вых – скорость потока материалов на входе и выходе;

4) V – объём смесителя;

5) DС_см – абсолютное изменение количества окиси кальция в самом смесителе за время rt;

6)  - относительное изменение содержания окиси кальция в смесителе за время rt.

Используя соотношения материального баланса и считая, что в течении достаточно малого времени  параметры не меняются, можно записать формулы определения абсолютного содержания окиси кальция в входном и выходном потоках за время :

С_вх = ·R·Dt (1)

С_вых = ·R·Dt (2)

Отсюда абсолютное изменение содержания окиси кальция в смесителе.

DС_cм=Свх – C_вых=( – )·R·Dt         (3)

С другой стороны изменение относительного процентного содержания СаО в смесителе составляет:

=DС_см/V (4)

отсюда,

DС_cм= · V                      (5)

Подставляя (5) в (3), получаем:

·V=( – )·R·Dt                 (6)

В связи с тем, что имеет место интенсивное перемешивание измельчённой массы, то состав этой воздушно-пылевой смеси практически одинаков во всем объеме и в том числе с составом в выходном потоке и, следовательно, такое допущение (DС_см»DС_вых) правомерно. Поэтому уравнение (6) можно записать в виде:

= (R/V)·( – )·Dt (7)

Если последнее уравнение записать в виде:

/Dt=(R/V)·( – ), и обозначать (R/V)=w,

то, устремляя Dt→0, получим:

Рассуждая аналогично, можно получить уравнения, связывающие относительные содержания компонент SiO₂ и Al₂O₃ во входном и выходном потоках:

Таким образом, построена неформальная математическая модель объекта.

 На основании получившегося уравнения покажем, как связаны обычные дифференциальные уравнения 1-го порядка  с разностным уравнением вида y_i=A₀·x_i-1+B₀·y_i-1

Решение дифференциального уравнения 1-го порядка с постоянными коэффициентами найдём методом разделения переменных, полагая, что х=х₀

Т. к. х=х₀=const, то dy»d(y–x₀). Действительно: D(y–x₀)=(y₁–x₀)|_t1–(y–x₀)|_t2=Dy|_Dt, поэтому можно записать:

                                         

Проинтегрировав левую и правую части уравнения, получаем: ln(y–x₀) = –wt.

Подставляя пределы, получаем:

ln(y–x₀)–ln(yo–xo) = –w·(t–t₀) или ln((y–x₀)/(y₀–x₀))= –w·(t–t₀).

Потенцируем левую и правую часть:

 или

 

Выполняя алгебраические преобразования, находим:

– решение исходного дифференциального уравнения.

Для установления связи данного уравнения с разностным уравнением, запишем данное уравнение для определенных значений выходных координат в моменты t₀,t₁,…t_n сдвинутые друг относительно друга на Dt. Обозначим эти значения функции y₁,y₂,…y_i.

 Для Dt=const имеем:

1) Для :

2) Для :                

Если обозначить ;  то последнее выражение можно записать в виде: y_i=A₀·х_i-1+B₀·y_i-1. Это и есть разностное уравнение 1-го порядка. Отсюда видно, что разностное уравнение может быть получено из решения дифференциального уравнения. При этом значения коэффициентов разностного уравнения зависят от коэффициентов дифференциального уравнения и периода дискретизации Dt.