Математическая модель. Общие понятия о математической модели

В процессе деятельности, человечество вынуждено постоянно вырабатывать представления (понятия) о свойствах и поведении объектов, которые его окружают или которые он сам создаёт. Эти представления или понятия могут формироваться в различных формах (например, в виде словесного описания, уравнений, макетов и т.д.). В современной терминологии подобное представление объектов (процессов) обобщается в единое понятие – «модель», а сам процесс построения или исследования модели называется «моделированием».

Модель — аналог объекта или процессов в объекте, создаваемый исследователем для того, чтобы получить возможность либо более полного изучения объекта, либо возможность прогнозирования состояния или поведения объекта.

Модели бывают физические (модель самолета), математические, компьютерные.

Последние получают все большее распространение.

Математическая модель (ММ) — разновидность моделей, которая обычно представляет собой совокупность математических соотношений, выражений, уравнений, описывающих свойства или процессы в объекте моделирования.

Рассмотрим объект, ММ которого в общем, виде можно записать, как:

Пример математической модели в более конкретном виде системы ДУ 1-го порядка:

При наличии такой ММ можно прогнозировать, как будет в будущем изменяться вектор , (т.е. в моменты времени ) при известных значениях векторов в предшествующие моменты времени  

т.е.

Имеет место определенный ряд требований, который должен удовлетворять модели:

1) модель должна быть адекватной объекту, т.е. вектор  при одних и тех же воздействиях на входы объекта и модели .

 

2) ММ должна быть определенной, т.е. не должна допускать различных вариантов ее интерпретации.

3) массовость модели, т.е. модель должна быть пригодной для всех подобных (аналогичных) объектов, для всего реального диапазона вариаций  и .

4) результативность модели, т.е. модель должна позволять осуществлять прогноз на ее основе с использованием известных математических методов или математических аппаратов.

Имеют место различные виды ММ и наиболее распространены такие разновидности как:

1) статические;       

2) динамические;

3) детерминированные;

4) стохастические;

5) сосредоточенные;

6) распределенные.

Для построения ММ наиболее широко используются системы алгебраических, дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных уравнений, переходные и передаточные функции, корреляционные функции. Особое место занимают так называемые имитационные модели, в которых фактически имитируется поведение элементов объекта и их взаимодействия, обычно с использованием возможностей вычислительной техники.

При построении ММ наиболее широко используются 2 подхода:

· экспериментальный, результатом, которого являются формальные (или внешне подобные) ММ.

· теоретико-физические, результатом которых является построение неформальных (внутренне подобных) ММ.

При экспериментальном подходе для построения ММ необходим достаточно большой экспериментальный материал, на базе которого конструируется ММ. При этом используются такие методы как:

- методы пассивного и активного эксперимента;

- методы корреляционного анализа;

- методы регрессионного анализа и др. 

 В теоретической кибернетике доказано, что если наблюдать за поведением объекта в различные моменты времени в течение длительного времени, т.е. измерять то можно достичь такого уровня знаний о нем, который позволит предсказывать значения выходных координат  для в будущем при известных воздействиях  для .

При этом получаемые модели не отражают существа процессов, имеющих место в объекте, и не базируются на фундаментальных законах, а только отражают математически связь  Такие модели могут быть использованы только в том диапазоне вариаций входных и выходных параметров, в котором проводились эксперименты.

Пример: исследование транзистора I _к = f (I _б) => I _к = A * I _б. В результате устанавливается формальная связь между I б и I к. Но не становится понятным суть процессов в транзисторе. Кроме того, эта зависимость адекватна объекту только в заданном диапазоне (I < I _б < I _{б. max}, 0< I _к < I _{к. max}).    

При теоретико – физическом подходе модели внутренне подобные не обязательно используют большой экспериментальный материал, но обычно конструируются исследователями, хорошо владеющими фундаментальными закономерностями, описывающими такого рода объекты, и обладающими высокими творческими способностями исследователя. Экспериментальный материал может служить толчком для исследователя и одновременно позволяет оценивать качество конструируемой модели.

Для вновь создаваемых автоматизированных систем, одной из важнейших задач разработчика является задача построения ММ данного объекта управления или идентификация объекта управления.