Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции

 

Выборочный коэффициент корреляции r_в является точечной оценкой коэффициента корреляции r. Равенство r_в =0 еще не свидетельствует о том, что r =0, а следовательно, о некоррелированности случайных величин Х и Y. Чтобы выяснить, находятся ли случайные величины в корреляционной зависимости, нужно проверить значимость выборочного коэффициента корреляции, т.е. установить, достаточна ли его величина для обоснования вывода о наличии корреляционной связи. Для этого проверяют нулевую гипотезу Н₀: r= 0. Объем выборки может быть любым. Вычисляют статистику

,

которая имеет распределение Стьюдента с k=n- 2степенями свободы.

Для проверки нулевой гипотезы по уровню значимости и числу степеней свободы k находят по таблице распределения Стьюдента (t- распределение, табл. Приложения 6) критическое значение , удовлетворяющее условию .

Если , то нулевую гипотезу об отсутствии корреляционной связи между величинами Х и Y следует отвергнуть. Переменные считают зависимыми. При нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

 

ПРИМЕР

По заданной выборке: 1) оценить тесноту линейной связи, вычислив выборочный коэффициент корреляции; 2) проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05.

Х
Y

РЕШЕНИЕ

Для решения задачи составим таблицу 1.

Таблица 1

№	xi	yi	xi^2	yi^2	xiyi

 

2) Выборочный коэффициент корреляции вычислим по формуле , также используя данные таблицы 1:

 

.

 

По значению коэффициента корреляции можно сделать вывод о том, что между величинами Х и Y существует заметная линейная корреляционная связь.

 

2) Выдвинем нулевую гипотезу Н₀:r= 0.

По формуле вычислим статистику t:

.

По числу степеней свободы k= 11-2=9 и уровню значимости из таблицы 2 (в конце работы) находим . Так как , то нулевую гипотезу отвергаем. Переменные Х и Y зависимы.

 

 

Задание

По заданной выборке:

1) оценить тесноту линейной связи, вычислив выборочный коэффициент корреляции двумя способами: а) с помощью таблицы Excel или «вручную» и б) проверьте свои расчеты с помощью статистической функции КОРРЕЛ мастера функций f_x пакета Excel;

2) проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05.

 

ВАРИАНТ 1

Х	9,7	10,4	10,3	9,8	10,1	10,2	10,0	9,9	9,6	9,8
Y	3,5	3,1	3,2	3,4	3,0	3,3	3,1	3,4	3,5	3,2

 

ВАРИАНТ 2

Х
Y	9,3	10,1	9,5	9,7	10,2	9,4	9,6	10,0	9,5	9,2

 

ВАРИАНТ 3

Х	10,4	9,8		10,2	9,9	9,7	9,5	10,1	10,3	9,7
Y

 

ВАРИАНТ 4

Х	7,5	7,0	8,3	8,4	6,9	7,7	8,1	7,6	7,9	8,2
Y

 

ВАРИАНТ 5

Х	8,3	7,2	6,9	9,0	9,0	9,5	9,5	9,1	7,5	7,0
Y	5,6	4,2	1,8	8,4	5,6	10,7	9,0	6,8	3,1	4,8

 

ВАРИАНТ 6

Х	9,1	8,6	9,4	9,5	10,4	9,2	9,8	8,4	9,6	9,9
Y	6,2	4,3	6,0	7,3	8,7	6,5	7,9	5,2	6,5	6,8

 

ВАРИАНТ 7

Х
Y		5,9	7,8	6,3	7,3	6,8	6,5	6,2	7,0	6,2

 

ВАРИАНТ 8

Х	8,5	9,4	9,2	10,4	10,1	9,8	9,3	8,7	9,9	9,5
Y	5,6	6,3	6,0	7,0	6,4	5,9	6,1	4,9	6,8	6,5

 

ВАРИАНТ 9

Х	10,2	9,5	9,7	9,8	9,4	9,6	10,0	10,1	9,3	9,6
Y	3,2	3,4	3,2	3,3	3,7	3,8	3,0	3,1	3,6	3,5

 

ВАРИАНТ 10

Х	4,5	4,3	4,7	4,7	5,2	4,6	4,9	4,2	4,3	5,0
Y	6,1	5,0	6,2	6,7	9,0	6,5	8,2	4,5	4,6	6,8

 

Таблица 2 - Критические точки распределения Стьюдента

Число степеней свободы k	Уровень значимости (двусторонняя критическая область)
0,10	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
	6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,68 1,67 1,66 1,64	12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,05 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96	31,82 6,97 4,54 3,75 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,60 2,58 2,57 2,55 2,54 2,53 2,52 2,51 2,50 2,49 2,49 2,48 2,47 2,46 2,46 2,46 2,42 2,39 2,36 2,33	63,7 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,05 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,85 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,76 2,76 2,75 2,70 2,66 2,62 2,58	318,3 22,33 10,22 7,17 5,89 5,21 4,79 4,50 4,30 4,14 4,03 3,93 3,85 3,79 3,73 3,69 3,65 3,61 3,58 3,55 3,53 3,51 3,49 3,47 3,45 3,44 3,42 3,40 3,40 3,39 3,31 3,23 3,17 3,09	637,0 31,6 12,9 8,61 6,86 5,96 5,40 5,04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,01 3,96 3,92 3,88 3,85 3,82 3,79 3,77 3,74 3,72 3,71 3,69 3,66 3,66 3,65 3,55 3,46 3,37 3,29
0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005
Уровень значимости (односторонняя критическая область)