Многофункциональные критерии

 

Многофункциональные статистические критерии – это критерии, которые могут использоваться по отношению к самым разнообразным данным, выборкам и задачам.

Это означает, что данные могут быть представлены в любой шкале.

Многофункциональные критерии позволяют решать задачи сопоставления уровней исследуемого признака, сдвигов в значениях исследуемого признака и сравнения распределений.

К числу многофункциональных критериев относится критерий Фишера (угловое преобразование Фишера).

Многофункциональные критерии построены на сопоставлении долей, выраженных в долях единицы или процентах. Суть критериев состоит в определении того, какая доля наблюдений в данной выборке характеризуется интересующим исследователя эффектом и какая доля этим эффектом не характеризуется.

Критерий Фишера

Критерий Фишера используется, когда обследованы две выборки испытуемых. Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах. Большей процентной доле будет соответствовать больший угол , а меньшей доле – меньший угол, но соотношения здесь не линейные: , где Р – процентная доля, выраженная в долях единицы.

При увеличении расхождения между углами и и увеличении численности выборок значение критерия возрастает. Чем больше величина , тем более вероятно, что различия достоверны.

Ограничения критерия Критерий

1) Ни одна из сопоставляемых долей не должна быть равна 0;

2) Выборки могут быть сколь угодно большими. Однако должны соблюдаться следующие соотношения в численности двух выборок:

а) если , то ;

б) если , то ;

в) если , то ;

г) при и возможны любые сопоставления.

Гипотезы

: доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2.

: доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 больше, чем в выборке 2.

Можно установить критические значения , соответствующие принятым в психологии уровням статистической значимости:

.

 

Пример. Допустим, нас интересует, различаются ли две группы студентов по успешности решения новой задачи. В первой группе из 20 человек справились с задачей 14, а во второй группе из 25 человек – 10.

Построим таблицу:

Группы	Решили задачу	Не решили задачу
1 группа	14 (70%)	6 (30%)
2 группа	10 (40%)	15 (60%)

 

Будем сопоставлять значения в столбце «Решили задачу».

: доля лиц, которые решили задачу, в группе 1 не больше, чем в группе 2.

По таблице приложения определим величины , соответствующие процентным долям в каждой из групп:

; .

Подсчитаем эмпирическое значение по формуле:

,

где - угол, соответствующей большей процентной доле,

- угол, соответствующий меньшей процентной доле.

В примере ; . Тогда

.

Таким образом, эмпирическое значение . Сравним это значение с критическими значениями.

При уровне значимости , следовательно, нулевую гипотезу следует отвергнуть и принять конкурирующую гипотезу: доля лиц, которые решили задачу, в группе 1 больше, чем в группе 2.

При уровне значимости , следовательно, нет оснований отвергать нулевую гипотезу: доля лиц, которые решили задачу, в группе 1 не больше, чем в группе 2.

Задача 1. Проводился эксперимент, направленный на выявление лучшего из учебников, написанных двумя авторскими коллективами в соответствии с целями обу­чения геометрии и содержанием программы IX класса. Для проведения эксперимента методом случайного отбо­ра были выбраны два района, большинство школ которых относились по расположению к сельским. Уча­щиеся первого района (20 классов) обучались по учеб­нику № 1, учащиеся второго района (15 классов) обуча­лись по учебнику №2.

Распределение ответов 20 учителей первого района и 15 учителей второго района представлены в виде таблицы:

 

Ответы	Учебники имеют одинаковую доступность для учащихся	Учебники не одинаково доступны учащимся
Выборка учителей первого района		5 (25%)
Выборка учителей второго района		8 (53,3%)

 

С помощью критерия проверьте гипотезу:

: учеб­ники № 1 и № 2 имеют одинаковую доступность для самостоятельного изучения учащимися.

Указание:

При решении задачи следует определить долю учителей в процентах, как это показано в выделенном столбце. Процентная доля 5 человек из 20: . Процентная доля 8 человек из 15: .

Задача 2. В экспериментальной группе учащихся проверялась одна из методик изучения нового материала. Для выявления эффективности методики была выделена контрольная группа учащихся, которая изучала новый материал по традиционной методике. Данные представлены в таблице:

Уровень знаний	Контр. группа (чел.)	Экспер. группа (чел.)
До эксп.	После эксп.	До эксп.	После эксп.
Низкий				3 (9,4%)
Средний				14 (43,7%)
высокий				15 (46,9%)

 

С помощью критерия проверьте при уровне значимости 0,05 гипотезы:

1) : после эксперимента доли учащихся с высоким уровнем знаний в контрольной и экспериментальной группах не отличаются.

2) : после эксперимента доли учащихся с низким уровнем знаний в контрольной и экспериментальной группах не отличаются.

3) : в экспериментальной группе не произошло существенных изменений в доле учащихся по высокому уровню знаний после применения новой методики (т.е. новая методика не дала эффекта).

Указание:

При решении задачи следует определить долю учащихся в процентах, как это показано в выделенном столбце.

(Процентная доля 3 человек из 32: . Процентная доля 14 человек из 32: . Процентная доля 15 человек из 32: . Проверка: .

 

Приложение

Лабораторная работа №7 «Коэффициент ранговой корреляции Спирмена»

Основание для выбора этого коэффициента корреляции:

1) универсальность, 2) простота, 3) широкие возможности в решении задач сравнения индивидуальных или групповых иерархий признаков.

Универсальность проявляется в том, что данный коэффициент применим к любым количественно измеренным или ранжированным данным.

Назначение:

Позволяет определить тесноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями (иерархиями) признаков.

Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть:

1) два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых;

2) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых по одному и тому же набору признаков;

3) две групповые иерархии признаков;

4) индивидуальная и групповая иерархии признаков.

Вначале показатели ранжируются отдельно по каждому признаку. Назовем признаки А и В. Как правило, меньшему значению признака начисляется меньший ранг.

Обозначения:

- разность между рангами А и В, - количество ранжируемых значений или количество испытуемых.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:

1) при отсутствии одинаковых рангов: ,

2) , где - поправки для одинаковых рангов. Они рассчитываются по формулам: , , где - объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду А, - объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду В.

Ограничения: .

 

Классификация корреляционной связи:

	меньше 0,19	0,20-0,29	0,30-0,49	0,50-0,69	больше 0,7
связь	очень слабая	слабая	умеренная	средняя	сильная или тесная

 

Если , то связь между признаками положительная или прямая (большим рангам одного признака соответствуют большие ранги другого признака), если , то связь обратная (большим рангам одного признака соответствуют меньшие ранги другого признака).

Пример 1. Корреляция между двумя признаками

 

А – показатели по шкале самоуважения (тест самоотношения)

В – показатели по шкале аутосимпатии (тест самоотношения)

№ испыту-емого	А	В	(рангА-рангВ)
Инд. значения	ранг	Инд. значения	ранг
					-1
				5,5	-0,5	0,25
		8,5		5,5
				9,5	-6,5	42,25
				7,5	2,5	6,25
		8,5		9,5	-1
				7,5	-2,5	6,25
					-2
Суммы						104,25

 

Показатели А для испытуемых под номерами 3, 8 и 10 одинаковые, поэтому имеют одинаковый ранг. Так как их ранги должны были бы быть обозначены как 4, 5, 6, но имеют одинаковый ранг, то рассчитываем их ранг следующим образом: (4+5+6):3=5. Таким образом, испытуемым под номерами 3, 8 и 10 присваиваем ранг 5. Следующему испытуемому под №1 присваиваем уже ранг 7 (так как ранги 4, 5, 6 уже использовались как ранг 5).

Аналогично, испытуемые под № 4 и 7 должны были бы иметь ранги 8 и 9, но т.к. их показатели одинаковые, то рассчитываем ранг следующим образом: (8+9):2=8,5. Поэтому испытуемый №6 получает ранг 10, а не 9.

Показатели В для испытуемых под № 2, 9 и 10 одинаковы. Они должны были бы иметь ранги 2, 3 и 4, но имеют одинаковый ранг, поэтому рассчитываем их следующим образом: (2+3+4):3=3. Испытуемые под № 3 и 4 имели бы ранги 5 и 6, но т.к. их показатели одинаковые, то и ранг одинаковый: (5+6):2=5,5. И т.д.

Контроль: Сумма рангов по столбцам А и В одинаковая, сумма разностей рангов равна 0.

Так как в обоих сопоставляемых рядах есть одинаковые ранги, перед подсчетом коэффициента ранговой корреляции необходимо внести поправки на одинаковые ранги.

В ряду А присутствует 2 группы одинаковых рангов, при этом , . Тогда

.

В ряду В присутствует 4 группы одинаковых рангов, причем , , , . Тогда

.

Коэффициент ранговой корреляции рассчитываем по формуле:

.

, .

.

Таким образом, между показателями по шкалам самоуважения и аутосимпатии в выборке из 10 человек существует умеренная связь.

Проверим значимость коэффициента корреляции. Выдвинем гипотезу: .

Критическое значение находим из таблицы при : .

Так как , то гипотеза принимается. Корреляция между показателями самоуважения и аутосимпатии не достигает уровня статистической значимости, т.е. значимо не отличается от 0.

 

Пример 2. Корреляция между индивидуальными профилями

 

Ранги терминальных ценностей по списку М.Рокича в индивидуальных иерархиях матери и дочери (пример из книги Е.Сидоренко «Методы математической обработки в психологии»):

 

Терминальные ценности	А Ряд ценностей в иерархии матери	В Ряд ценностей в иерархии дочери
1. Активная деятельная жизнь
2. Жизненная мудрость			-2
3. Здоровье			-7
4. Интересная работа			-4
5. Красота природы и искусство			-1
6. Любовь
7. Материально обеспеченная жизнь			-1
8. Наличие хороших и верных друзей			-2
9. Общественное признание
10. Познание
11. Продуктивная жизнь
12. Развитие			-2
13. Развлечения
14. Свобода			-2
15. Счастливая семейная жизнь
16. Счастье других			-2
17. Творчество
18. Уверенность в себе			-4
Суммы

 

Определим эмпирическое значение коэффициента ранговой корреляции по формуле : .

Проверим значимость коэффициента корреляции. Выдвинем гипотезу: .

Критическое значение находим из таблицы при : .

Так как , то гипотеза отвергается. Принимается гипотеза . Корреляция между иерархиями терминальных ценностей матери и дочери статистически значима () и является положительной, т.к. .

 

Пример 3. Корреляция между двумя групповыми иерархиями

 

Данные, полученные по 10-бальной шкале, были усреднены по 32 испытуемым (см. таблицу ниже).

Вычислим коэффициент ранговой корреляции:

.

Проверим значимость коэффициента корреляции. Выдвинем гипотезу: .

Критическое значение находим из таблицы при : .

Так как , то гипотеза принимается. Корреляция между упорядоченными перечнями видов страха в американской и отечественной выборках не достигает уровня статистической значимости, т.е. значимо не отличается от 0.

 

 

Задание 1.

Корреляция между индивидуальными профилями двух студентов

Заполните таблицу, установив ранги терминальных ценностей по списку М.Рокича в индивидуальных иерархиях двух студентов:

 

Терминальные ценности	А Ряд ценностей в иерархии студента №1	В Ряд ценностей в иерархии студента №2
1. Активная деятельная жизнь
2. Жизненная мудрость
3. Здоровье
4. Интересная работа
5. Красота природы и искусство
6. Любовь
7. Материально обеспеченная жизнь
8. Наличие хороших и верных друзей
9. Общественное признание
10. Познание
11. Продуктивная жизнь
12. Развитие
13. Развлечения
14. Свобода
15. Счастливая семейная жизнь
16. Счастье других
17. Творчество
18. Уверенность в себе
Суммы

 

Определите эмпирическое значение коэффициента ранговой корреляции по формуле . Сделайте вывод.

Для проверки значимости коэффициента корреляции выдвинем гипотезу: .

Критическое значение найдите по таблице приложения.

 

Задание 2.

Испытуемым в количестве 77 человек предлагалось ответить на вопрос: «Какой уровень развития каждого из перечисленных ниже качеств необходим для депутата городского собрания Санкт-Петербурга?».

Усредненные эталонные оценки избирателей и индивидуальные показатели депутата К-ва по 18 личностным качествам экспресс-видеодиагностики:

 

Так как имеются одинаковые ранги, коэффициент ранговой корреляции рассчитываем по формуле: .

Рассчитайте значение самостоятельно и сделайте выводы.

 

Приложение