Биномиальное распределение случайной величины»

 

Производится серия из п независимых испытаний. В каждом из них вероятность появления события А постоянна и равна р. вероятность противоположного события равна . Обозначим вероятность того, что событие А появится ровно k раз, через где

.

Тогда биномиальное распределение задается следующим законом распределения вероятностей:

Значения			…	п
Вероятности			…

 

Статистическая функция БИНОМ.РАСП мастера функций f_x пакета Excel позволяют определить вероятность того, что событие А появится ровно k раз в п независимых испытаниях.

Формулы f_x Статистические БИНОМ.РАСП Ок.

 

Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить.

 

Пример 1. Проводится серия из 10 испытаний. В каждом из них вероятность появления события А постоянна и равна 0,3. Определим с помощью функции БИНОМ.РАСП вероятность того, что событие А появится 7 раз:

 

Таким образом, .

 

Пример 2. Ученик не подготовился к тесту и поэтому отвечает на вопросы теста наугад. Составим ряд распределения числа правильных ответов, если тест состоит из 7 вопросов, к каждому вопросу дается 4 ответа, причем только один из них верный.

Всего испытаний п =7, вероятность успеха водном испытании (при ответе на один вопрос) р =0,25.

Введем в ячейки В1:I1 число успехов, а в ячейках В2:I2 с помощью функции БИНОМ.РАСП мастера функций f_x пакета Excel вычислим соответствующие вероятности:

Выделив ячейки В2:I2 и нажав на значок на вкладке «Главная» убеждаемся в том, что сумма всех вероятностей равна 1:

 

Заметим, что вероятность дать 5 правильных ответов при простом угадывании равна 0,011536, что меньше, чем 0,05. Следовательно, практически невозможно при простом угадывании правильно ответить на 5, или 6, или 7 вопросов. Это означает, что положительную оценку ученику можно ставить только в случае, если он правильно ответит не менее чем на 5 вопросов.

Вариант 1

Задание 1

Проводится серия из 10 испытаний. В каждом из них вероятность появления события А постоянна и равна 0,3. Определить с помощью функции БИНОМ.РАСП мастера функций f_x пакета Excelвероятность того, что событие А появится 7 раз; не более 5 раз.

Задание 2

Ученик не подготовился к тесту и поэтому отвечает на вопросы теста наугад. Составьте ряд распределения числа правильных ответов, если тест состоит из 7 вопросов, к каждому вопросу дается 4 ответа, причем только один из них верный.

Всевозможные вероятности вычислите с помощью функции БИНОМ.РАСП мастера функций f_x пакета Excel.

Задание 3

Ученик не подготовился к тесту и поэтому отвечает на вопросы теста наугад. Начиная с какого числа правильных ответов, ученику можно ставить положительную оценку? Заполните таблицу, если тест состоит из п вопросов, к каждому вопросу дается т ответов, причем только t из них верных:

п	m	t	р	Число ответов, начиная с которого можно ставить положительную оценку

 

Для вычислений используйте функцию БИНОМ.РАСП мастера функций f_x пакета Excel.

 

Вариант 2

Задание 1

Проводится серия из 11 испытаний. В каждом из них вероятность появления события А постоянна и равна 0,4. Определить с помощью функции БИНОМ.РАСП мастера функций f_x пакета Excel вероятность того, что событие А появится 7 раз; не более 5 раз.

Задание 2

Ученик не подготовился к тесту и поэтому отвечает на вопросы теста наугад. Составьте ряд распределения числа правильных ответов, если тест состоит из 8 вопросов, к каждому вопросу дается 3 ответа, причем только один из них верный.

Всевозможные вероятности вычислите с помощью функции БИНОМ.РАСП мастера функций f_x пакета Excel.

Задание 3

См. задание 3 варианта 1.

Вариант 3

Задание 1

Проводится серия из 10 испытаний. В каждом из них вероятность появления события А постоянна и равна 0,2. Определить с помощью функции БИНОМ.РАСП мастера функций f_x пакета Excelвероятность того, что событие А появится 5 раз; не более 3 раз.

Задание 2

Ученик не подготовился к тесту и поэтому отвечает на вопросы теста наугад. Составьте ряд распределения числа правильных ответов, если тест состоит из 10 вопросов, к каждому вопросу дается 5 ответов, причем только один из них верный.

Всевозможные вероятности вычислите с помощью функции БИНОМ.РАСП мастера функций f_x пакета Excel.

Задание 3

См. задание 3 варианта 1.

Лабораторная работа №2

«Описательная статистика»

Статистические функции СЧЕТ, МОДА, МЕДИАНА, СРЗНАЧ, ДИСПР, ДИСП, СТАНДОТКЛОНП, СКОС и ЭКСЦЕСС мастера функций f_x пакета Excel позволяют определить для выборки объем, моду, медиану, выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, выборочное стандартное отклонение, асимметрию и эксцесс соответственно.

А вот надстройка Пакет анализа позволяет получить сразу все характеристики выборки.

Для доступа к этим инструментам нажмите кнопку Анализ данных в группе Анализ на вкладке Данные.

Данные Анализ данных Описательная статистика Ок.

Появится окно:

Если кнопка Анализ данных недоступна, необходимо загрузить надстройку "Пакет анализа". Для этого:

1. На вкладке Файл выберите команду Параметры, а затем — категорию Надстройки.

2. В списке Управление выберите пункт Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти.

3. В окне Доступные надстройки установите флажок Пакет анализа и нажмите кнопку ОК.

Если пункт Пакет анализа отсутствует в списке Доступные надстройки, нажмите кнопку Обзор, чтобы найти надстройку.

Если выводится сообщение о том, что надстройка "Пакет анализа" не установлена на компьютере, нажмите кнопку Да для ее установки.

Пример 1.

Для выборки 2, 3, 5, 6, 7, 9, 6, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 2, 1 определим с помощью Excel характеристики выборки.

Введем в ячейки А1:А15 наши данные.

Данные Анализ данных Описательная статистика Ок.

(Сервис Анализ данных Описательная статистика Ок.)

Появится диалоговое окно, которое нужно заполнить:

 

После нажатия кнопки Ок получаем итоговую таблицу:

Пример 2. Результаты экзамена по математическому анализу представлены в таблице:

оценка	Число студентов

Построим в документе Microsoft Word с помощью мастера диаграмм пакета Excel столбчатую и круговую диаграммы, а также полигон частот.

Вставка Диаграмма Гистограмма.

 

После этого раскроется диалоговое окно Excel с некоторыми данными в ячейках и появится соответствующая этим данным гистограмма.

Внесем изменения в ячейках А1:В5 в соответствии с данными нашего примера, остальные данные удалим:

 

Одновременно с изменениями в ячейках будет изменяться информация на гистограмме.

 

Теперь можно изменить название гистограммы и подписи осей.

Выделив поле названия, заменим надпись «число студентов» на результаты экзамена». Чтобы изменить подписи горизонтальной оси, нажмем правой кнопкой мышки на область диаграммы, в открывшейся вкладке выберем команду «Изменить данные».

 

 

Нажмем правой кнопкой мышки на область диаграммы, в открывшейся вкладке выберем команду «Изменить тип диаграммы», заменив гистограмму на круговую диаграмму.

 

 

 

Задание 1. Для выборки 3, 4, 5, 6, 9, 7, 2, 1, 4, 5, 7, 8, 4, 7 определить с помощью Excel характеристики выборки.

Задание 2

В таблице приведены размеры одежды 50 учащихся 9 класса:

На основании этих данных составить таблицу распределения по частотам значений случайной величины - размеров одежды учащихся 9 класса.

1) Построить полигон частот.

2) Найти среднее значение величины , медиану, моду, выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Задание 3

При изучении учебной нагрузки учащихся попросили 32 восьмиклассников отметить время (с точностью до 0,1 ч), которое они затратили в определенный день на выполнение домашних заданий. Получили следующие данные:

2,7	2,5	3,1	3,2	3,4	1,6	1,8	4,2
2,6	3,4	3,2	2,9	1.9	1.5	3,7	3,6
3,1	2.9	2,8	1.5	3.1	3,4	2.2	2,8
4,1	2.4	4,3	1.9	3,6	1,8	2,8	3,9

Представьте полученные данные в виде интервального ряда с интервалами длиной 0.5 ч. Найдите среднее время, потраченное на выполнение домашних заданий. Постройте полигон частот.

Задание 4

Гистограмма характеризует распределение призывников по росту:

Пользуясь гистограммой, найдите:

А) число призывников ростом от 180 до 185 см;

Б) группу роста, к которой относится наибольшее число призывников;

В) общее число призывников;

Для случайной величины , означающей рост призывника, найдите: среднее значение, и медиану. Найдите приближенное значение моды.

Лабораторная работа №3 «Критерий Крамера-Уэлча»

Задание 1

В двух группах учащихся — экспериментальной и контрольной — получены следующие результаты по учеб­ному предмету (тестовые баллы; см. табл.).

Результаты эксперимента

Первая группа (экспериментальная) N=11 человек	Вторая группа (контрольная) М=9 человек
12 14 13 16 11 9 13 15 15 18 14	13 9 11 10 7 6 8 10 11

Выдвинем гипотезы:

Н₀: средние тестовые баллы по учебному предмету в экспериментальной и контрольной группах совпадают.

Н₁: средние тестовые баллы по учебному предмету в экспериментальной и контрольной группах не совпадают.

Проверьте нулевую гипотезу с помощью критерия Крамера-Уэлча, подсчитав следующие характеристики:

, где , , .

Если , то нулевая гипотеза отвергается.

 

Пример. Время на производство одной детали по первой технологии (с): 27, 28, 29, 27, 28, 29, 31, 32, 30, 29. Время на производство одной детали по второй технологии (с): 28, 29, 27, 28, 29, 32, 31, 33. Доверительная вероятность 95%. Можно ли сделать вывод, что время на производство одной детали в этих технологиях различается?

Выдвинем гипотезы:

Н₀: время на производство одной детали в этих технологиях одинаково.

Н₁: время на производство одной детали в этих технологиях различается.

Укажем время на производство одной детали в ячейках А1:А11 и В1:В9:

 

Сначала надо выяснить, различаются ли в технологиях 1 и 2 неизвестные дисперсии.

Данные Анализ данных Двухвыборочный F-тест для дисперсии Ок.

Откроется диалоговое окно, которое нужно заполнить:

В графе Интервал переменной 1 указывается ссылка на ячейки, содержащие значения первой выборки. В графе Интервал переменной 2 указывается ссылка на ячейки, содержащие значения второй выборки. В графе альфа указывается уровень значимости . В нашем случае это 0,05. Также указываются параметры вывода (выходной интервал, новый рабочий лист, новая рабочая книга).

При нажатии кнопки Ок откроется итоговое окно:

Так как в графе P(F<=f) одностороннее указано величина, большая выбранного Альфа (0,223150144>0,05), то принимаем заключение о том, что неизвестные дисперсии не различаются.

Воспользуемся двухвыборочным t- тестом с одинаковыми дисперсиями. Вернемся на Лист 1.

Данные Анализ данных Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями Ок.

Заполняем раскрывшееся диалоговое окно:

На новом рабочем листе откроется итоговое окно:

Так как Р(Т<=t) двухстороннее больше заданного альфа, то гипотеза Н₀ принимается на уровне значимости 0,05. Время на производство одной детали в этих технологиях одинаково.

Замечание. Если Двухвыборочный F-тест для дисперсии покажет различие дисперсий (в графе P(F<=f) одностороннее указано величина, меньшая выбранного Альфа), то необходимо воспользоваться двухвыборочным t- тестом с различными дисперсиями. Данные Анализ данных Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями Ок.

Задание 2

Выполните задание 1 по алгоритму, рассмотренному в примере.

Лабораторная работа №4 «Критерий знаков G»

Число ошибок, допущенных учащимися при выполнении однотипных тестовых заданий до объяснения учителя и после представлены в таблице.

Выдвинем гипотезы:

Н₀: сдвиг в отрицательную (типичную) сторону является случайным (т.е. объяснение материала учителем не было эффективным).

Н₁: сдвиг в отрицательную (типичную) сторону не является случайным (т.е. объяснение материала учителем было эффективным).

Проверьте нулевую гипотезу с помощью критерия знаков.

Нулевые сдвиги отбрасываются; количество ненулевых сдвигов: .

Типичные сдвиги те, которых больше.

Значение - количество нетипичных сдвигов.

Если , то нулевая гипотеза отклоняется, принимается конкурирующая гипотеза.

Если , то критерий знаков неприменим.

При различных значениях ненулевых сдвигов критическое значение при уровне значимости р<0,05 находят из таблицы:

п

п

Вариант 1

№ ученика	Число допущенных ошибок	Сдвиг
До объяснения	После объясн.
					сдвиги	Кол-во
				Положит.
				Отрицат.
				Нулевые

Нулевые сдвиги отбрасываются; количество ненулевых сдвигов: .

Вариант 2

№ ученика	Число допущенных ошибок	Сдвиг
До объяснения	После объясн.
					сдвиги	Кол-во
				Положит.
				Отрицат.
				Нулевые

Нулевые сдвиги отбрасываются; количество ненулевых сдвигов: .

Вариант 3

№ ученика	Число допущенных ошибок	Сдвиг
До объяснения	После объясн.
					сдвиги	Кол-во
				Положит.
				Отрицат.
				Нулевые

Нулевые сдвиги отбрасываются; количество ненулевых сдвигов: .

Лабораторная работа №5 «Критерий χ2 (хи-квадрат)»

 

Критерий χ² (хи-квадрат) приме­няется в двух целях:

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим – равномерным, нормальным или каким-то иным,

2) для сравнения распределений объектов двух совокупностей на основе измерений по шкале наименований в двух независимых выборках (критерий однородности χ²).

 

Критерий не рекомендуется использовать, если:

1) , (в одних источниках); (в других источниках);

2) хотя бы одна из абсолютных частот в таблице, составленной на основе экспериментальных данных, меньше 5.

 

Задача 1. Проводился эксперимент, направленный на выявление лучшего из учебников, написанных двумя авторскими коллективами в соответствии с целями обу­чения геометрии и содержанием программы IX класса. Для проведения эксперимента методом случайного отбо­ра были выбраны два района, большинство школ которых относились по расположению к сельским. Уча­щиеся первого района (20 классов) обучались по учеб­нику № 1, учащиеся второго района (15 классов) обуча­лись по учебнику №2.

Методом случайного отбора из учащихся первого района, писавших проверочную работу, была составлена выборка объ­емом 50 человек, из учащихся второго района — выборка объемом 50 человек. В соответствии со специально разработанными критериями оценки выпол­нения работы каждый ученик мог попасть в одну из че­тырех категорий: плохо, посредственно, хорошо, отлично. Результаты выполнения работы двумя выборками уча­щихся используем для проверки гипотезы о том, что учеб­ник № 1 способствует лучшему усвоению проверяемого раздела курса, т. е. учащиеся первого экспериментального района в среднем будут получать более высокие оценки, чем учащиеся второго района.

Результаты выполнения работы учащимися обеих вы­борок представлены в виде таблицы:

	Категория 1 (плохо)	Категория 2 (посредств)	Категория 3 (хорошо)	Категория 4 (отл)
Выборка учащихся первого района
Выборка учащихся второго района

Выдвинем гипотезу:

: учеб­ник № 1 не способствует лучшему усвоению проверяемого раздела курса.

Используя критерий χ² проверьте нулевую гипотезу при уровне значимости 0,05 и сделайте выводы.

χ²_{набл. .}

Если χ²_набл. χ²_кр., то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

 

Критические значения χ²_кр. при уровне значимости 0,05 находятся по таблице:

χ^2кр.	3,84	5,99	7,82	9,49	11,07	12,59	14,07	15,52	16,92

 

Задача 2. Проверьте свои расчеты с помощью таблицы Excel. Примерный образец представлен на рисунке.

 

Задача 3. В экспериментальной группе учащихся проверялась одна из методик изучения нового материала. Для выявления эффективности методики была выделена контрольная группа учащихся, которая изучала новый материал по традиционной методике. Данные представлены в таблице:

Уровень знаний	Контр. группа (чел.)	Экспер. группа (чел.)
До эксп.	После эксп.	До эксп.	После эксп.
Низкий
Средний
высокий

Проверьте при уровне значимости 0,05 гипотезы:

1) : до эксперимента различий в распределении уровня знаний в контрольной и экспериментальной группах не было.

2) : после эксперимента различий в распределении уровня знаний в контрольной и экспериментальной группах нет.

3) : в экспериментальной группе не произошло существенных изменений в распределении учащихся по уровню знаний после применения новой методики (т.е. новая методика не дала эффекта).

Рассмотрим применение критерия χ² для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим.

Задача 4 (пример приведен из книги Е.Сидоренко «Методы математической обработки в психологии»).

В комедии Н.В. Гоголя «Женитьба» у купеческой дочери Агафьи Тихоновны было пять женихов. Одного она сразу исключила из рассмотрения, потому что он был купеческого звания, как и она сама. А из остальных не знала, кого выбрать. Ей хотелось, чтобы жених совмещал в себе достоинства всех четверых. Но поскольку вывести среднюю величину из четверых людей невозможно, то Агафья Тихоновна была в смятении.

Допустим, её тетушка или сваха за полчаса смотрин зафиксировали следующие наблюдения.

Агафья Тихоновна:

Сидела с опущенными глазами 25 минут;

Благосклонно смотрела на Никанора Ивановича 14 раз;

Благосклонно смотрела на Ивана Кузьмича 5 раз;

Благосклонно смотрела на Ивана Павловича 8 раз;

Благосклонно смотрела на Балтазара Балтазарыча 5 раз.

(Все приведенные эмпирические частоты на самом деле пропорциональны количеству благосклонных высказываний невесты о женихах в тексте пьесы.)

Представьте данные в виде таблицы:

Женихи	Никанор Иванович	Иван Кузьмич	Иван Павлович	Балтазар Балтазарыч	Всего взглядов
Кол-во взглядов

Если Агафья Тихоновна никому не отдает предпочтения, то данное распределение направленности её взгляда не будет отличаться от равномерного: она на всех смотрит с одинаковой частотой. Но если достоинства одного из женихов чаще притягивают взор, то это может быть основанием для матримониального решения.

Гипотезы:

Н₀: распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.

Н₁: распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами отличается от равномерного распределения.

Теоретическая частота взглядов : если все взгляды между женихами распределены равномерно, то каждый из них получил бы по ¼ всех взглядов, т.е. по 8 взглядов. Таким образом, .

Сопоставление теоретических и эмпирических частот осуществляется по формуле:

.

Рассчитайте значения критерия χ² с помощью таблицы:

Разряды-женихи	Эмпирич. частота	Теоретич. частота	-
	Никанор Иванович
	Иван Кузьмич
	Иван Павлович
	Балтазар Балтазарыч
Суммы

Для того чтобы установить критические значения χ², нужно определить число степеней свободы по формуле: , где k – количество разрядов.

По числу степеней свободы и уровню значимости определите критическое значение по таблице. Сравните (таблица значений ниже) с полученным значением χ² и сделайте выводы.

Критические точки распределения

 

 

Лабораторная работа №6

«Многофункциональные критерии. Критерий Фишера»