Определенин усилий в стойках рамы.

 

Схема нагрузок на раму представлена на рис.18. Так как жесткость фермы значительно больше жесткости колонны (стойки), ригель рамы представляем как абсолютно жесткое тело. Упрощённая расчётная схема представлена на рис.17.

Ригель крепится к стойкам шарнирно, а сами стойки жестко защемлены в основании. В этом случае рама один раз статически неопределима.

Разрежем ригель и рассмотрим условие совместности деформаций. Так как ригель жесткий, перемешение верхних концов стоек будет одинаковым (см. Рис.18). Обозначим горизонтальное усилие, приложенное к шарниру левой стойки как Х. Тогда усилие на правой стойке будет определяться как F_WO-X. (см. Рис.19). Такая схема реализуется при отсутствии или разрушении торцовых стен.

Рис.18. Рис.19.

 

 

Суммарное горизонтальное перемещение конца левой стойки равно суммарному горизонтальному перемещению конца правой стойки, или

 

X×H³/3EI + q_W ×H⁴/8EI = (F_WO –X)×H³/3EI + q ×H⁴/8EI

После сокращения на EI и Н³ и преобразований, получим:

 

X/3 – (F_WO-X)/3 = или (2X-F_WO)/3 =

2X = 3 + F_WO, откуда X

X=[F_WO -3(q_W - q )H/8]/2 = [8,09 – 3(1,545 – 1,16)10/8]/2 = 3,32 кН

Опорные моменты в стойках

M_лев = X×H + 0,5×q_w×H² = 3,32×10 + 0,5×1,545×10² = 110,5 кН×м

M_прав = (F_wo –X)H + 0,5 ×H² = (8,09- 3,32)×10 + 0,5×1,16×10² = 105,7 кН

 

Рис.20. Рис.21.

 

Эпюры изгибающих моментов представлены на Рис.20.

Наибольший изгибающий момент - момент в опоре левой стойки.

 

Однако, в реальных конструкциях всегда присутствуют торцовые стены, и, поэтому, шарниры на верхних концах стоек не могут перемещаться. Расчётная схема стойки в этом случае представлена на Рис.21. Здесь же дана эпюра изгибающих моментов (по справочникам) для левой стойки, как наиболее нагруженной.

 

Момент на опоре: М_оп =q_W ∙Н² /8 = 1,545∙10²/8 = 19,3 кН∙м

Максимальный изгибающий момент в пролёте:

М_пр =q_W ∙Н² /12,8 = 1,545∙10²/12,8 = 12,1 кН∙м

 

Расчёт и конструирование колонны

 

Расчёт стержня колонны.

 

Колонны промышленных зданий работают на внецентренное сжатие. Значения расчётных усилий (продольной силы N, изгибающего момента в плоскости рамы M_x и поперечной силы Q), определены по результатам статического расчёта рамы (см. п.6 выше).

Расчётная длина в плоскости рамы определяется с учётом ряда упрощающих предпосылок:

- колонна рассматривается как отдельно стоящий стержень с идеализированными условиями закрепления;

- система загружается силами, приложенными только в узлах;

- пространственная работа каркаса учитывается не в полной мере.

Такой подход идёт в запас устойчивости.

 

Для колонны с постоянным по высоте сечением коэффициент расчётной длины m принимают в зависимости от способа закрепления колонны в фундаменте и соотношения погонных жесткостей ригеля и колонны. (см. СНиП II-23-85, п.6, табл.17а)

 

При жестком закреплении колонн в фундаменте (как в настоящем примере)

m = ;

При шарнирном закреплении ригеля к колонне n=0, тогда m= =2,0

Сплошные колонны обычно проектируют двутаврового сечения. Для колонн с постоянным по высоте сечением применяются симметричные двутавры. Для снижения трудоёмкости изготовления колонн рационально применение прокатных профилей с параллельными гранями, типа Ш.

 

Последовательность подбора сечения сплошных колонн. Расчёт производим для левой стойки рамы (колонны), у которой изгибающий момент от горизонтальной нагрузки имеет наибольшую величину.

1. Находим коэффициент приведения m (он определён выше, m=2,0

2. Определяем расчётные длины l_x и l_y: l_x = l_y = m× l =2×10 =20 м =2000 см, где l =H=10 м – высота колонны;

3. Задаёмся высотой сечения колонны. При высоте Н до 12 м, h=Н/15 =1000/15=66,7 см. По сортаменту ГОСТ 26020-83, предварительно выбираем широкополочный двутавр 70Ш1, геометрические характеристики которого: h=683 мм – высота сечения;

А=216,4 см² – площадь сечения;

I_x= 172000 см⁴ - момент инерции площади поперечного сечения относительно

оси x;

W_x= 5036 см³ – момент сопротивления площади сечения относительно оси x;

i_x =28,19 см – радиус инерции относительно оси x;

I_y = 10400 см⁴ - момент инерции площади поперечного сечения относительно

оси y;

i_y =6,93 см – радиус инерции относительно оси y;

b=320 мм – ширина полки;

s=13,5 мм – толщина стенки;

t=19,0 мм –толщина полки.

 

4. Определяем условную гибкость _x и относительный эксцентриситет m_x

 

_x =(l_x/ i_x) = (2000/28,19) =2,9

m_x = eA/W_x где e – эксцентриситет, определяемый выражением e=M_max/N

e=110,5/266=0,415 м=41,5 см;

m_x= 41,5×216,4/5036 =1,78

здесь: M_max=110,5 кН×м – максимальный изгибающий момент в колонне;

N = 266 кН – центрально приложенная сжимающая продольная сила, равная опорной реакции фермы.

5. По полученным значениям m_x и _x по таблице 73, СНиП II-23-85 определяем коэффициент влияния формы сечения h:

Предварительно опредеяем соотношение A_f /A_w =608/926 = 0,66

где: A_f = b∙t = 32∙19,0 = 608 см² - площадь полок двутавра;

A_w = h∙s =68,3∙13,5 = 926 см²;

 

При m_x = 1,78 и при A_f /A_w =0,66 и _x = 2,9;

 

h = (1,75-0,1m_x) – 0,02(5-m_x) _x = (1,75-0,1×1,78) – 0,02(5-1,78)×2,9 = 0,94

Приведенный относительный эксцентриситет m_ef=h×m_x = ×094•1,78=1,67

при _x =4,05 и m_ef = 1,67 j_e определяем интерполяцией:

 

при _x=3 и m_ef = 1,5 j_e1 = 0,457

при _x=3 и m_ef = 1,75 j_e2 = 0,425

при _x=3 и m_ef = 1,67 j_e3 = 0,457- [(0,457-0,425)/(1,75-1,5)]×(1,67-1,5) =0,435

 

Требуемая площадь сечения

 

Атр = N / (φ_e·Ry γ_c) = 266/(0,435×34,5×0,95) =18,7 см² ˂ 216,4 см², поэтому можно назначить двутавр меньшего размера. Назначаем двутавр 40Ш1, для которого:

 

h=388 мм – высота сечения;

А=122,4 см² – площадь сечения;

I_x= 34360 см⁴ - момент инерции площади поперечного сечения относительно оси x;

W_x= 1771 см³ – момент сопротивления площади сечения относительно оси x;

i_x =16,76 см – радиус инерции относительно оси x;

I_y = 6306 см⁴ - момент инерции площади поперечного сечения относительно оси y;

i_y =7,18 см – радиус инерции относительно оси y;

 

Далее проводим повторный расчёт

 

Определяем условную гибкость _x и относительный эксцентриситет m_x

_x =(l_x/ i_x) = (2000/16,76) =4,9

m_x = eA/W_x где e – эксцентриситет, определяемый выражением e=M_max/N

e=110,5/266=0,415 м=41,5 см;

m_x= 41,5×122,4/1771 =2,9

По полученным значениям m_x и _x по таблице 73, СНиП II-23-85 определяем коэффициент влияния формы сечения h:

При m_x = 2,9 и при A_f /A_w =0,5 и _x = 4,9;

h = (1,75-0,1m_x) – 0,02(5-m_x) _x = (1,75-0,1×2,9) – 0,02(5-2,9)×4,9 = 1,25

Приведенный относительный эксцентриситет m_ef=h×m_x = 1,25×2,9=3,6

при _x =4,9 и m_ef = 3,6 j_e определяем интерполяцией:

 

при _x=4,9 и m_ef = 3,5 j_e1 = 0,162

при _x=4,9 и m_ef = 4,0 j_e2 = 0,150

при _x=4,9 и m_ef = 3,6 j_e3 = 0,162 - [(0,162-0,150)/(4,0-3,5)]×(3,6-3,5) = 0,160

 

Требуемая площадь сечения

Атр = N / (φ_e·Ry γ_c) = 266/(0,160×34,5×0,95) =50,7 см² ˂ 122,4 см².

Так как требуемая площадь практически в 2 раза меньше чем у принятого двутавра, берём двутавр 35Ш1, для которого:

 

h=338 мм – высота сечения;

А=95,67 см² – площадь сечения;

I_x= 19790 см⁴ - момент инерции площади поперечного сечения относительно оси x;

W_x= 1171 см³ – момент сопротивления площади сечения относительно оси x;

i_x =14,38 см – радиус инерции относительно оси x;

I_y = 3260 см⁴ - момент инерции площади поперечного сечения относительно оси y;

i_y =5,84 см – радиус инерции относительно оси y;

b_f=250 мм – ширина полки;

s=9,5 мм – толщина стенки;

t_f=12,5 мм –толщина полки.

 

Далее проводим повторный расчёт

 

Определяем условную гибкость _x и относительный эксцентриситет m_x

_x =(l_x/ i_x) = (2000/14,38) =5,7

m_x = eA/W_x где e – эксцентриситет, определяемый выражением e=M_max/N

e=110,5/266=0,415 м=41,5 см;

m_x= 41,5×95,6/1171 =3,4

По полученным значениям m_x и _x по таблице 73, СНиП II-23-85 определяем коэффициент влияния формы сечения h:

При m_x = 3,4 и при A_f /A_w =0,5 и _x = 5,7;

h = 1,25

Приведенный относительный эксцентриситет m_ef=h×m_x = 1,25×3,4=4,25

при _x =5,7 и m_ef = 2,25 j_e определяем интерполяцией:

 

при _x=5,7 и m_ef = 4,0 j_e1 = 0,128

при _x=5,7 и m_ef = 4,5 j_e2 = 0,120

при _x=5,7 и m_ef = 4,25 j_e3 = 0,128 - [(0,128-0,120)/(4,5-4,0)]×(4,25-4,0) = 0,124

 

Требуемая площадь сечения

Атр = N / (φ_e·Ry γ_c) = 266/(0,124×34,5×0,95) =65,5 см² ˂ 95,67 см².

 

6. Проверяем устойчивость колонны из плоскости изгиба

 

Требуемая площадь сечения

Атр = N / (φ·Ry γ_c) = 266/(0,158×34,5×0,95) =51,4 см² ˂95,67 см² у принятого двутавра.

где j = 0,158 (получено интерполяцией значений по табл.72, СНиП II-23-85), при l = l_y / i_y = 1000/5,84 =170

Устойчивость колонны из плоскости изгиба обеспечена.