Позацентрове розтягання – стискання бруса

Окремим випадком сумісної дії згинання та розтягання (стискання) є так зване позацентрове розтягання (стискання). Такий вид складного опору має місце, якщо на брус довільного перерізу діє сила , паралельна до осі бруса Z, що прикладена у точці Р, яка не співпадає з центром ваги перерізу (рис.18). Точку Р з координатами називають полюсом, а найкоротшу відстань від неї до центру ваги перерізу – ексцентриситетом .

Для того щоб зробити висновки щодо напружено – деформованого стану бруса необхідно привести позацентрову силу до центра ваги перерізу. Згідно з законами теоретичної механіки, при паралельному переносі сили в площині переносу з’являється додатковий момент, рівний добутку сили з плечем переносу.

Рисунок 18

 

 

Приведення сили до центра ваги О можна здійснити у два етапи (рис.19).

 

Рисунок 19

 

Спочатку перенесемо силу в площині паралельній на відстань з точки P до точки С. У площині переносу з’являється момент .

Наступним кроком є перенос сили (і моменту ) на відстань з точки С до точки О. Цей перенос здійснюється у площині , тому в точці О з’являється момент .

Момент , згідно з аксіомою теоретичної механіки, може бути перенесеним до будь якої точки конструкції без порушення її загальної рівноваги. Перенос моменту здійснюється паралельно площині його дії без зміни величини та напряму повороту.

Таким чином в центрі ваги перерізу діють три силові фактори:

 

(27)

 

Із виразів (27) випливає незмінність внутрішніх зусиль уздовж осі . У разі позацентрового розтягання (стискання) усі перерізи стержня є рівнонебезпечними.

Отже, напружений стан у довільній точці перерізу В складається з напружень від поздовжньої сили та напружень від чистого згинання моментами , згідно з (19) та з урахуванням (27)

 

, (28)

 

де – радіуси інерції відносно головних осей перерізу X та Y відповідно.

Для пошуку небезпечної точки у разі складного профілю перерізу, треба побудувати нейтральну лінію. Небезпечною буде точка, найвіддаленіша від нейтральної лінії.

Оскільки нейтральна лінія, за її визначенням, є геометричним місцем точок з нульовими напруженнями , то з (28) випливає

 

 

де – координати точки, що належить до нейтральної лінії.

Рівняння нейтральної лінії

 

(29)

 

Відрізки, що відсікає нейтральна лінія на координатних осях, відповідно дорівнюють

 

. (30)

 

Співвідношення (30) також можна здобути із (24) за допомогою підстановки (27). Треба зазначити, що формули (24) мають більш широкий спектр дії, ніж (30). Наприклад, якщо до конструкції прикладено декілька позацентрових навантажень, то поздовжня сила і згинальні моменти , у (24) є алгебраїчними сумами відповідних компонентів у перерізі.

Із залежностей (30) випливає, що нейтральна лінія перетинає координатні осі в точках, які належать квадрантам, протилежним тому, де знаходиться полюс Р (рис. 20).

 

Рисунок 20

 

Якщо проведемо паралельно до нейтральної лінії дотичні до контуру перерізу в обидва боки, знайдемо найбільш напружені точки K та L у розтягнутій і стислій зонах перерізу відповідно (рис. 20). Якщо позначити та координати точок K і L відповідно, то умови міцності для них мають вигляд:

 

(31)

 

З урахуванням (27) умови (31) тотожні умовам (20). Тому, при різних формах перерізів і властивостей матеріалу, в разі позацентрового розтягання (стискання) треба користуватися раніше наведеними сполученнями (20-21.2).

Аналізуючи співвідношення (30) можна дістати висновку, що нейтральна лінія не завжди перетинає переріз та не проходить через центр ваги перерізу.

Якщо полюс співпадає з центром ваги (), то нейтральна лінія проходить у нескінченості (напруження розподілені рівномірно по площі перерізу і мають один знак). Із збільшенням ексцентриситету „ е ” нейтральна лінія наближається до перерізу і у певний момент стає дотичною до нього. Таке значення „ е ” вказує на межу ядра перерізу. При подальшому збільшенні ексцентриситету нейтральна лінія перетне переріз і розподілить його на зони з різними знаками напружень (рис. 20). Це важливо для стержнів з крихких матеріалів, що погано чинять опір розтяганню (наприклад, чавун, бетон і т.п.).

Отже, ядром перерізу називають замкнену зону навколо центра ваги перерізу, яка має таку властивість: якщо позацентрове навантаження розміщене в зоні ядра, то нормальні напруження в усіх точках перерізу мають однакові знаки.

Для побудови ядра перерізу задаються різними положеннями нейтральної лінії, дотичними до контуру перерізу, і обчислюють за допомогою (30) координати відповідних граничних точок ядра (точок, до яких має бути прикладена позацентрова сила)

 

. (32)

 

При обертанні нейтральної лінії навколо фіксованої точки контуру перерізу, полюс переміщується вздовж прямої лінії.

 

Приклад 4

Як приклад розрахунків на позацентрове розтягання (стискання), доберемо допустиме значення сили , яку прикладено до колони (рис. 21) і визначимо ядро перерізу. Будемо вважати, що матеріал колони має різний опір на розтягання і стискання, тому , . Розміри перерізу колони наведені на рис. 21.

 

Рисунок 21

 

Для проведення розрахунків на позацентрове розтягання (стискання) першочергово необхідно визначити геометричні характеристики поперечного перерізу відносно головних центральних осей інерції (осьові моменті інерціїї, радіуси інерції, площу перерізу).

Спочатку для складного перерізу бруса визначаємо положення центру ваги. Для цього складний профіль переріза розіб’ємо на два прямокутника з власними центральними осями та відповідно (рис. 22). Збіг центральних осей свідчить про наявність симетрії у перерізі. А якщо ось – ось симетрії, то вона є головною центральною віссю перерізу, центр ваги якого знаходиться на цій осі. Тому інша координата центру ваги .

Залишається визначити розташування центру ваги вздовж осі . Для цього скористаємося співвідношенням:

 

(33)

 

де – площа кожної складової перерізу,

– статичний момент площі, відносно осі ,

– координата центра ваги складової площі перерізу.

 

Рисунок 22

 

Для застосування формули (33) треба обрати опорну вісь , відносно якої підраховується сумарний статичний момент перерізу.

Отриманий результат відкладаємо від опорної осі (рис. 22). Таким чином центр ваги всього перерізу знайдено і, одночасно, визначена система головних центральних осей перерізу .

Сумарна площа перерізу визначається як алгебраїчна сума площ окремих частин:

Осьові моменти інерції перерізу відносно головних центральних осей інерції визначаються за виразами [1]:

 

(34)

 

де , – моменти інерції складової перерізу, підраховані відносно власних центральних осей;

– відстань між осями та ;

– відстань між осями та . Для перерізу з віссю симетрії ,

 

;

 

У системі головних центральних осей інерції полюс (точка, де прикладена сила ) має координати

Наступним кроком до вирішення задачі має бути приведення сили з полюса до центра ваги переріза – точки . На рис. 23 в цій точці з’являється окрім сили ще й два моменти: у площині та у площині .

 

Рисунок 23

 

Таким чином маємо:

 

(35)

 

Силові фактори (35) діють у будь-якому перерізі колони і призводять до появи нормальних напружень, розподіл яких приведено на рис. 23. З цього розподілу витікає, що точки першого квадранту (де розташований полюс) мають напруження одного знаку (від’ємні). То ж нейтральна лінія має пройти крізь другий, третій та четвертий квадранти (рис. 24).

 

Рисунок 24.

 

Згідно (30) підрахуємо відрізки та :

 

Таким чином, рівняння нейтральної лінії згідно з (29) стає:

 

 

або після алгебраїчних перетворень доведемо його до стандартного виду :

 

. (36)

 

Нейтральна лінія розподіляє переріз на дві зони. У зоні стискаючих напружень найбільш віддаленою є кутова точка (рис. 24). Найбільш віддаленою точкою у зоні розтягуючих напружень можуть бути кутові точки або , в залежності від нахилу нейтральної лінії до координатних осей та .

Питання про найбільшу відстань від нейтральної лінії для точок і можна розв’язати трьома способами:

а) графічно викреслити у відповідному масштабі переріз колони, провести нейтральну лінію з урахуванням відрізків , та за допомогою лінійки визначити найбільш віддалену точку;

б) визначити за допомогою співвідношень аналітичної геометрії найкоротші відстані від точок і до нейтральної лінії. Підрахунок здійснюється за формулою:

 

, (37)

 

де – найкоротша відстань від точки до прямої,

– координати точки.

Знак перед радикалом у знаменнику є протилежним до знаку коефіцієнта С [2].

Наприклад, для точки ()

 

 

для точки ()

 

 

Таким чином, найвіддаленішою точкою в розтягнутій зоні є точка .

в) записати умови міцності у розтягнутій зоні як для точки , так і для точки . З умови міцності для найбільш віддаленої точки маємо отримати найменше допустиме навантаження. Тож треба скласти умови міцності (20) або (31) для т. () у зоні розтягу, та для т. () – у зоні стискання. При складанні умов міцності сили, моменти та координати точок будемо вважати додатними, а знак напруження приписувати кожному сполучнику, згідно деформації у відповідному квадранті (рис. 23).

 

 

З урахуванням (35)

 

Звідси вираховуємо допустимі зусилля:

Якщо записати умови міцності для точки (), то будемо мати:

 

 

Цей результат () вказує, що у розтягнутій зоні найвіддаленіша від нейтральної лінії є дійсно точка .

З отриманих допустимих навантажень згідно з умовами міцності обираємо найменшу силу .

Для побудови ядра перерізу треба зробити нейтральну лінію дотичною до усіх контурних точок, але так, щоб вона не перетинала площу перерізу (рис. 25).

Рисунок 25

 

У кожному положенні нейтральної лінії слід підрахувати координати відповідного полюсу, згідно з (32).

Так у положенні 1

 

У положенні 2

 

У положенні 3

 

Положення 4 симетрично відносно положення 2, тому

 

 

Поворот нейтральної лінії на 90 градусів супроводжується переміщенням полюса по прямим лініям 1–2, 2–3, 3–4, 4–1 (рис. 25).