Загальний випадок дії сил на брус прямокутного перерізу

 

У практиці машинобудування досить часто використовуються конструкції зібрані з елементів некруглих перерізів. Якщо такий елемент знаходиться під дією усіх шістьох компонентів внутрішніх зусиль , , , , то визначення його напружено-деформованого стану є досить складною задачею.

Особливі складнощі виникають при появі кручення, дотичні напруження від якого мають розподіл, залежний від геометричних характеристик перерізу. Рішення задач кручення для різних за формою перерізів дають аналітичні та чисельні методи теорії пружності. Одержані висновки та основні результати розрахунків можна використати в курсі опору матеріалів.

Крім того, відсутність аналітичних зв’язків між геометричними характеристиками перерізу при згинанні та крученні не дає можливості використання зведених величин, таких як еквівалентний момент.

Ці обставини унеможливлюють пошук небезпечного перерізу з використанням єдиної формули, як у разі круглого або кільцевого перерізу стержня. Тому конструкції з елементів некруглого профілю, як правило, мають декілька потенційно небезпечних перерізів. У кожному з них треба провести власний аналіз напруженого стану і на цій базі зробити висновки для конструкції в цілому.

Розглянемо приклад просторового бруса прямокутного перерізу (рис. 35).

 

Рисунок 35

 

Для побудови епюр внутрішніх зусиль введемо правогвинтову сталу систему координат . Така система може бути перенесена до будь-якої точки конструкції без зміни положення координатних осей.

Інколи для розв’язання такої задачі використовується рухома система координат. Її особливість полягає в тому, що одна з осей рухомої системи завжди відслідковує головний напрямок стержня. Однак, для вирішення задачі вибір координатної системи принципового значення не має.

Проводячи розрахунки на міцність розгалужених механічних систем за допомогою метода перерізів, треба дотримуватись наступних положень:

- незалежно від навантаження, кожен прямолінійний елемент (стержень) конструкції вважається окремою ділянкою, в межах якої треба зробити довільний переріз;

- для побудови епюр внутрішніх силових факторів на будь-якій ділянці треба привести до її початкової точки усі зовнішні сили та моменти з відсіченої частини.

Приведення сил і моментів виконується згідно з правилами теоретичної механіки, отже сила до заданої точки може потрапити завдяки переміщенню вздовж лінії власної дії, або за допомогою її паралельного переносу. В останньому випадку до сили треба додати момент, рівний добутку сили з плечем переносу. Площина дії утвореного моменту визначається двома напрямками – діючої сили і відрізка, вздовж якого відбувається перенос. Сконцентрований момент до заданої точки потрапляє без зміни його значення, площини дії та напрямку обертання.

Вибрана у якості приклада просторова статично визначувана конструкція (рис.35) має жорстке затиснення переріза О. В центрі ваги цього перерізу, у загальному випадку дії сил, виникають шість реактивних зусиль , , , , які можна знайти з умов рівноваги:

 

 

Для консольних конструкцій можна застосувати такий порядок розгляду ділянок, що жодна реакція не потрапить до відсіченої частини конструкції. Це можливо, якщо перерізи наближати до жорсткого затиснення з вільних кінців конструкції. При обраному в такій спосіб порядку розгляду інтервалів реактивні зусилля у жорсткому затисненні можна не визначати. Відсічені частини та початкові точки (вузли) ділянок вказані на рис.36.

Але, якщо відсічена частина конструкції включає до свого складу точку О, визначити реактивні зусилля потрібно, і у подальшому оперувати цими компонентами як звичайними зовнішніми навантаженнями.

Рисунок 36

 

Для побудови епюри будь-якого силового фактору в межах довільної ділянки треба виконати наступні дії:

- згуртувати всі зовнішні сили та моменти з відсіченої частини конструкції у початковій точці ділянки;

- зробити в межах цієї ділянки переріз і ввести поточну координату, яка відраховується з початкової точки (вузла) ділянки;

- жорстко затиснути брус у зробленому перерізі, зводячи його розрахункову схему до консольної.

В процесі розбудови епюр треба дотримуватись правил знаків для сил та моментів, а також до вимог розташування епюр в межах кожної ділянки.

Як і раніше будемо користуватися наступними правилами знаків для внутрішніх сил та моментів. Так поздовжня сила вважається додатною, якщо її дія є розтягуюча. Додатна сила завжди направлена назовні по відношенню до довільного перерізу ділянки. Стискаюче зусилля є від’ємним, а напрямок його дії – протилежний. Епюра поздовжньої сили може бути розташована у будь-якій площині, яка проходить крізь відповідну ділянку. Вона повинна мати знак зусилля та його значення.

Епюра поперечного зусилля має власну площину. Вона визначається за двома напрямками - сили та ділянки, до якої вона прикладена. Поперечне зусилля вважається додатним, якщо у власній площині дії, відносно довільного перерізу відбувається поворот за часовою стрілкою і навпаки. При обраному порядку розглядання ділянок (рис. 36) це правило буде виконуватись, якщо площину епюри будувати у напрямку, протилежному до діючої зовнішньої сили.

Побудова епюр згинальних моментів провадиться за правилами, прийнятими у машинобудуванні. Спочатку визначається площина дії моменту за координатними напрямками сили і ділянки, до якої вона прикладена. Наступним кроком до побудови епюри є моделювання прогину відповідної ділянки під дією сили або моменту і визначення положення стислих волокон балки. Епюра згинального моменту будується в площині його дії з боку стислих волокон, згідно з функцією розподілу моменту вздовж осі ділянки. Числове значення моменту вказується на епюрі в усіх точках його зміни.

Знак крутного моменту може бути визначений в найбільш демократичний спосіб. Дивлячись з боку довільного перерізу на обертання зовнішнього (крутного) моменту навколо осі ділянки, можна призначити додатне або від’ємне значення внутрішнього крутного моменту. Обертання супротив годинникової стрілки можна вважати додатним. Але це правило треба застосувати до всіх зовнішніх моментів.

Оскільки площина дії крутного моменту завжди ортогональна до осі ділянки, його складно відобразити на плоскому кресленні. Тому епюри крутних моментів будують або окремо від епюри згинальних моментів, або додають їх в останню чергу, розташовуючи на вільних місцях, прилеглих до даної ділянки. Для візуального відокремлення крутних моментів від згинальних, обрис епюри крутного моменту штрихують гвинтовою спіраллю. В полі епюри встановлюють знак моменту і позначають його величину.

 

Приклад 7

В якості прикладу визначимо запас міцності консольної конструкції з прямолінійних стержнів прямокутного профілю, жорстко з’єднаних у вузлах (рис. 35). Навантаження мають значення , , , а довжини ділянок , , . Розміри прямокутного профілю у кореневому перерізі О-О дорівнюють , . Причому, сторони позначають, щоб виконувалась нерівність . Припустимо, що матеріал конструкції має межу текучості .

При побудові епюр внутрішніх силових факторів для нашої конструкції (рис. 35) використаємо принцип суперпозиції. Сили , , , будемо прикладати послідовно, відстежуючи дію кожної сили окремо. Загальний результат отримаємо, якщо просумуємо відповідні епюри на усіх ділянках конструкції.

Спочатку будемо вважати, що діє лише сила . Схема її руху між вузлами конструкції наведена на рис. 37.

 

Рисунок 37

 

Паралельний перенос з D до С породжує момент у площині .

 

 

Рух сили з С до В утворює додатковий момент у площині

 

 

Таким чином (рис.37), перша ділянка DС знаходиться в умовах поперечного згинання в площині .

 

 

 

При погляді з додатного напрямку осі „ у ”, стислими на цій ділянці є волокна стержня, що зліва (які мають від’ємну координату „ z ”).

На другій ділянці СВ маємо сумісну дію поперечного згинання в площині та кручення

 

 

Епюра моменту повинна бути розташована на правих, стислих волокнах ділянки, при погляді з додатного напрямку осі „ х ”.

Третя ділянка ОВ стискається поздовжньою силою

 

 

а також згинається постійними сконцентрованими моментами у двох головних площинах перерізу

 

 

Момент , площина дії якого стискає праві волокна стержня ОВ (з додатною координатою „ х ”). Момент діє у площині , стискаючи верхні волокна ділянки (волокна, що мають додатну координату „ у ”).

Розподіл вказаних силових факторів зображений на рис.38.

 

Рисунок 38

 

Додатний знак на епюрі крутних моментів (рис. 38) свідчить, що усі зовнішні моменти, які обертаються навколо осі стержня за годинниковою стрілкою, утворюють додатні внутрішні моменти у перерізах ділянки. Напрям повороту моменту оцінюється з боку довільного перерізу ділянки.

Слід зауважити, що всі вузли конструкції „ n ” повинні відповідати умовам рівноваги під дією внутрішніх моментів, тобто виконується рівняння:

 

На рис. 39 показані внутрішні моменти, що діють при наближенні до вузла С з боку першої та другої ділянки

 

Рисунок 39

 

Такий спосіб контролю при побудові епюр слід застосовувати до кожного вузла конструкції.

Розглянемо опір конструкції під дією сили (рис. 40).

 

Рисунок 40

 

Дія сили розповсюджується на другу та третю ділянки конструкції. Згідно з прийнятим порядком розгляду інтервалів (рис. 36), до першої ділянки вона не потрапляє.

Тож зусилля дає поперечне згинання другої ділянки

 

 

Площина дії моменту – , стислі волокна стержня у цій площині – праві, з додатною координатою „ х ”. У точці В момент набуває значення

 

 

Такий момент є крутним по відношенню до ділянки ВО, вісь якої ортогональна до площини його дії. Зусилля у точці В стає поперечним до останньої ділянки (рис. 40), тому воно згинає стержень ОВ у площині . Стислі волокна у цій площині мають додатну координату „ х ”.

 

 

Епюри силових факторів від дії навантаження зображені на рис. 41.

 

Рисунок 41

 

Зона дії зусилля обмежується лише третьою ділянкою ОВ.

 

Рисунок 42

 

Сила вже приведена до стартової точки останнього інтервалу, є поперечною до нього, тому

 

 

Площина дії моменту – , стислі волокна розташовані знизу і мають від’ємну координату „ у ”. Епюри внутрішніх силових факторів від дії зусилля наведені на рис. 43.

Рисунок 43

 

Якщо просумувати відповідні епюри з рис. 38, 41, 43, отримаємо загальний розподіл внутрішніх сил та моментів по елементах конструкції (рис.44). Сумування проводиться по кожній ділянці з дотриманням знаків та площин розташування часткових епюр.

 

Рисунок 44

 

Значення внутрішніх сил та моментів на сумарних епюрах (рис. 44) в перерізі О відповідає реактивним зусиллям , , , .

Для того, щоб зробити вичерпну оцінку щодо несучої спроможності конструкції, треба визначити запаси міцності в найбільш напружених точках потенційно небезпечних перерізів

 

,

 

де – критичне напруження, по відношенню до якого встановлюється запас міцності (це може бути або границя текучості - , або границя міцності - ), – максимальне напруження в „ i ” точці перерізу.

Розглянемо методику визначення коефіцієнту запасу . У якості прикладу зупинимося на перерізі О, в якому діють усі без виключення внутрішні зусилля (рис. 44).

Напрямок дії внутрішніх зусиль в перерізі О легко встановити з умов рівноваги малого елемента стержня ОВ. Звертаючись до правил побудови епюр поздовжніх та поперечних зусиль, можна відтворити напрямки дії зовнішніх сил , та урівноважити їх відповідними внутрішніми компонентами , (рис. 45).

 

Рисунок 45

 

Аналізуючи стан стислих волокон того ж елемента та напрямок його кручення з боку зовнішніх моментів , встановлюємо відповідні напрямки внутрішніх моментів перерізу (рис.46).

 

Рисунок 46

 

Тож у перерізі О зведемо всі внутрішні силові фактори до головних осей перерізу, згідно з їх напрямками та значеннями (рис.47).

Рисунок 47

 

Підрахуємо напруження від кожного з компонентів внутрішніх зусиль. Для цього знадобляться такі геометричні характеристики перерізу.

 

 

При крученні стержня прямокутного перерізу коефіцієнти визначимо по таблиці [4]. При відношенні сторін прямокутника , добираємо: .

Тоді момент опору кручення .

Нормальні напруження від поздовжньої сили рівномірно розподіляються по точках перерізу

 

Від дії згинальних моментів , нормальні напруження розподіляються за лінійним законом, збільшуючись від нейтральної лінії в обидва боки зі зростанням відповідної координати, так що

 

 

Згідно з напрямком дії, згинальний момент (рис. 47) розтягує точки І та ІІ квадранту і стискає нижню половину перерізу (ІІІ та ІV квадрант). Момент (рис. 47) діє таким чином, що ліва частина перерізу (ІІ та ІІІ квадранти), опиняється у зоні розтягання, а права частина (І та ІV квадрант) – у зоні стискання.

Дотичні напруження від крутного моменту набувають максимальних значень у точках, що лежать на серединах сторін прямокутника. Найбільші з них з’являються посередині більших сторін. У серединах коротших сторін прямокутника мають місце локальні максимуми

 

 

Напруження від дії поперечних зусиль теж є дотичними. Вони обчислюються згідно з формулою Журавського і набувають максимальних значень на нейтральних лініях прямокутного переріза

 

 

Розподілення компонент напружень в [МПа] в перерізі О–О представлене на рис.48.

 

Рисунок 48

 

Дотичні напруження, за напрямком дії, завжди співпадають з відповідним внутрішнім зусиллям. Так, напруження у площині переріза утворюють потік, направлений за годинниковою стрілкою, за напрямком дії . Вектор дії дотичних напружень від дії поперечних зусиль співпадає з вектором самих зусиль.

Аналізуючи напружений стан перерізу можна зробити наступні висновки:

- у кутових точках прямокутника відсутні дотичні напруження, тому ці точки мають лінійний (одновісний) напружений стан;

- найбільш небезпечною точкою перерізу може бути або кутова точка, або точка, що належить до середини сторони прямокутника. Остання має плоский (двовісний) напружений стан, завдяки наявності напружень двох різних типів.

За цими ознаками для підрахунку запасу міцності перерізу оберемо найбільш напружену кутову точку 5, середини більшої (т.4 та т.8) та меншої (т.2 та т.6) сторони прямокутника (рис.47).

В точці 5 діють однакові за знаком (тому найбільші за модулем) нормальні напруження (рис 48, 49)

 

Рисунок 49

 

Напружений стан в точці 5 – лінійний (одновісний), тому сумарне напруження визначається як алгебраїчна сума компонент напружень:

 

 

Запас міцності в цій точці становить

 

.

 

Найбільш напруженими можуть бути точки посередині більших сторін прямокутника. Однозначно визначити найбільш небезпечну точку неможливо, тому що в точці 4 нормальні напруження одного знаку, а дотичні – різного. В точці 8 навпаки, нормальні напруження різного знаку, а дотичні – одного. Тому необхідно розглядати обидві точки. Для точки 4 маємо (рис. 50)

 

Рисунок 50

 

Напружений стан в точці 4 – двовісний (плоский).

 

 

Використовуючи ІV гіпотезу міцності отримаємо

 

.

 

Запас міцності у четвертій точці становить

 

.

 

Для точки 8 маємо (рис. 51)

 

Рисунок 51

 

Напружений стан в точці 8 – двовісний (плоский).

 

 

Використовуючи ІV гіпотезу міцності отримаємо

 

.

 

Запас міцності у восьмій точці становить

 

.

 

Порівняння напружень у середніх точках коротких сторін прямокутника дає перевагу точці 6 (рис. 48). Для цієї точки (рис. 52) нормальні та дотичні напруження за напрямком дії складаються, а для точки 2 – віднімаються.

Для точки 6 маємо (рис. 52)

 

Рисунок 52

 

Напружений стан в точці 6 – двовісний (плоский).

 

 

Використовуючи ІV гіпотезу міцності отримаємо

 

.

 

Запас міцності у четвертій точці становить

 

.

 

Таким чином, у якості загального коефіцієнта запасу перерізу приймаємо найменший

 

.

 

Загальний коефіцієнт запасу . Таким чином можна стверджувати, що умова міцності виконується, а просторовий брус є міцним.