МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

„ХАРКIВСЬКИЙ ПОЛIТЕХНIЧНИЙ ІНСТИТУТ”

 

 

Киркач Б.М.

Конохов В.І.

Хавін В.Л.

Шергін С.Ю.

 

 

„РОЗРАХУНКИ

На міцність СТЕРЖНІВ при

СКЛАДНОМУ деформуванні”

 

Навчально – методичний посібник

з розділу курсу „Опір матеріалів”

для студентів машинобудівних спеціальностей

 

 

ЗАТВЕРДЖЕНО

редакційно – видавничою

радою університету,

протокол № 1

від 24 червня 2010 р.

 

 

Харків НТУ „ХПІ” 2010

ББК 30.121

Р64

УДК 620.17

 

Рецензенти : В.М. Кошельник д-р техн. наук, проф.,

Національний технічний університет „Харківський політехнічний інститут”,

С.А. Вамболь канд. техн. наук, доцент,

Університет цивільного захисту України

 

 

Автори: Киркач Б.М., Конохов В.І., Хавін В.Л., Шергін С.Ю.

 

Розрахунки на міцність стержнів при складному деформуванні. Навчально - методичний посібник з розділу курсу „Опір матеріалів” для студентів машинобудівних спеціальностей/ Киркач Б.М., Конохов В.І., Хавін В.Л., Шергін С.Ю. – Х.: НТУ “ХПІ”, 2010 –120 с.

 

ISBN

Розглядаються теоретичні аспекти розрахунків при складному навантаженні, надаються приклади інженерних розрахунків на міцність стержнів при складному деформуванні; теоретичні основи напруженого стану в точці при комбінації різних видів простого деформування, надаються розрахункові схеми і чисельні дані для виконання індивідуальних розрахунково-проектувальних завдань, а також приклади їх розв’язання.

Призначено для студентів машинобудівних спеціальностей. Може бути корисним для викладачів, а також для аспірантів, інженерів та наукових працівників.

Іл. 80. Табл. 2. Бібліогр. 4 назв.

 

 

ББК 30.121

ISBN	©	Б.М. Киркач, В.І. Конохов,
		В.Л. Хавін, С.Ю. Шергін, 2010р.

Вступ

Сучасний етап науково-технічного розвитку потребує удосконалення методів розрахунку на міцність і жорсткість машинобудівних конструкцій з метою впровадження нових технологій, підвищення якості, надійності та довговічності машин, їх конкурентоспроможності на світовому ринку.

Навчально-методичний посібник є складовою одиницею серії навчально-методичної літератури, підготовленої кафедрою опору матеріалів НТУ «ХПІ» для виконання індивідуальних розрахунково-проектувальних завдань студентами машинобудівних спеціальностей та модульного контролю засвоєного матеріалу.

Посібник охоплює один з важливих розділів загального курсу опору матеріалів, а саме, розрахунки стержньових конструкцій в умовах їх складного деформування. Посібник призначений для засвоєння студентами загальних положень теорії та методики проведення розрахунків стержнів з урахуванням їх складного напруженого стану.

У першому розділі посібника розглянуті основні види складної деформації стержнів, а саме: косе та просторове згинання, сумісна дія згинання та розтягання (стискання), загальні випадки дії сил на бруси круглого та прямокутного перерізу. Для кожного виду складної деформації надані приклади розв’язання задач, аналізу напруженого стану у точках небезпечного перерізу.

У другому розділі надаються розрахункові схеми та числові дані для виконання індивідуальних розрахунково-проектувальних завдань, а також приклади їх розв’язання та оформлення. Для перевірки набутих теоретичних знань студентів з даної теми пропонуються контрольні запитання.

Складне деформування стержнів

Загальні положення

Центральне розтягання – стискання ( ), кручення ( ), зсув ( або ), плоске поперечне згинання ( ; або ; ) є так званими простими видами деформування стержнів. Характерною рисою простого деформування є наявність одного або двох внутрішніх силових факторів у довільному перерізі стержня ( балки, бруса).

Зустрічаються і більш складні випадки завантаження, коли у різних перерізах стержня одночасно діють різні комбінації компонент внутрішніх зусиль, складені з відомих видів простого деформування. Таку деформацію стержня, або його опір називають складним. У загальному випадку навантаження в поперечному перерізі бруса виникають усі шість внутрішніх зусиль . На практиці одночасна дія всіх силових факторів спостерігається не часто. Найбільш поширеними видами складного деформування є наступні:

- просторове (складне) згинання, або його окремий випадок – косе згинання, які мають місце при наявності згинальних моментів ;

- згинання з розтяганням (стиканням) , якщо у поперечних перерізах діють одночасно ;

- сумісне згинання та кручення, обумовлене дією відповідних моментів ;

У всіх зазначених видах складного деформування в перерізах бруса з’являються також і поперечні зусилля .

Якщо припустити, що деформації достатньо жорсткого стержня (бруса) малі й відповідають закону Гука, то до задач складного деформування можна застосувати принцип суперпозиції або принцип сумування дії сил. Згідно з цим принципом, результат від дії системи зусиль, що приводить загалом до складного деформування стержня, дорівнює сумі результатів, одержаних від кожної сили окремо, яка сама по собі утворює просту деформацію. Таким чином, напружений стан, що з’являється у стержні при складному завантаженні, можна здобути сумуванням напружених станів, спричинених окремими простими навантаженнями.

Кожне з шістьох внутрішніх зусиль пов’язано з виникненням відповідних напружень. Поздовжня сила і згинальні моменти приводять до появи нормальних напружень , крутний момент та поперечні сили дають дотичні напруження .

Тому напружений стан в окремій точці перерізу бруса при складному деформуванні може бути

- простим, якщо діють лише нормальні або дотичні напруження ;

- складним, коли спостерігається одночасна дія обох типів напружень.

В обох випадках у довільній точці перерізу сумарні нормальні та дотичні напруження визначаються як векторні суми компонент у відповідних напрямках:

 

 

Принцип суперпозиції може бути застосований також і для визначення деформованого стану стержня в умовах складного навантаження. Наприклад, прогини та кути поворотів перерізів стержня підраховуються у різних координатних площинах при простих навантаженнях, а їх результат поєднується у геометричну суму:

 

 

Просторове та косе згинання

Згинання називають косим, якщо усі навантаження діють у одній (силовій) площині, яка перетинає вісь балки , але не включає жодної з головних центральних осей інерції перерізу.

Якщо силових площин дві і більше, то таке згинання називається просторовим.

 

Рисунок 1

 

Розрахунки балок, які знаходяться в умовах косого або складного згинання, можна звести до сумісної дії двох плоских згинань у головних площинах. Для цього навантаження, що діють у довільних силових площинах треба спроектувати до головних площин , (рис. 1б). Таким чином, у будь-якому перерізі балки виникають чотири внутрішні силові фактори: .

Треба зазначити, що в даному методичному посібнику ми свідомо не торкаємося питань згинання тонкостінних відкритих профілів ( з однією віссю симетрії або без неї) , для яких поперечні сили, що проходять крізь центр ваги перерізу, породжують систему неврівноважених дотичних напружень. Останні утворюють крутний момент , що зумовлює вільне або стиснуте кручення.

У практичних розрахунках на міцність для більшості перерізів малими дотичними напруженнями , як правило нехтують. Таким чином, врахують лише нормальні напруження від дії згинальних моментів .

Незважаючи на загальні підходи до рішення задач косого і складного згинання, є деякі відмінності у цих випадках складного опору:

а) при косому згинанні деформована вісь бруса є плоскою кривою, а при складному згинанні – просторовою;

б) згинальні моменти у випадку косого згинання набувають максимальних значень в одному перерізі, а якщо згинання складне, - здебільшого в різних.

Розглянемо жорстко затиснуту консольну балку, навантажену на вільному кінці силою , яка лежить у силовій площині, нахиленій під кутом до головної площини (рис. 2а).

Розкладемо зусилля по головних осях перерізу і, таким чином, зведемо задачу косого згинання до комбінації двох плоских згинань у головних площинах та .

(1)

Рисунок 2

 

У довільному перерізі згинальні моменти визначаються за співвідношеннями:

 

(2)

 

Максимальні значення вони набувають у перерізі , при , який є найбільш небезпечним.

 

(3)

 

Обчислимо напруження в точці довільного перерізу, яка знаходиться у першому його квадранті (рис. 2б):

 

(4)

 

Оскільки тип напружень від дії згинальних моментів однаковий (рис. 2б) , їх можна алгебраїчно просумувати:

 

(5)

 

Усі складові співвідношень (5) (згинальні моменти та координати) будемо вважати додатними, а знак приписувати кожному сполучнику окремо, зважаючи на деформації у відповідному квадранті.

Аналізуючи розподіл нормальних напружень у перерізі (рис. 2б), робимо висновок, що нульові напруження можуть знаходиться лише у точках другого та четвертого квадрантів.

Позначимо координати точки з напруженнями (рис. 3), тоді з формули (5) маємо:

 

. (6)

 

Це рівняння є рівнянням прямої, що проходить крізь початок координат (центр ваги перерізу) і квадранти з різними знаками нормальних напружень. Така лінія називається нейтральною.

Кутовий коефіцієнт цієї прямої:

 

(7)

 

Рисунок 3

 

Якщо зважити, що з формул (2)

 

,

 

то остаточно

 

. (8)

 

Таким чином, нейтральна лінія завжди відхиляється від осі на кут в ту ж сторону, в яку слід силової площини відхиляється від осі на кут (рис.3). Різниця між цими кутами залежить від співвідношення осьових моментів інерції перерізу. Наприклад, якщо прийняти , а співвідношення (що відповідає двотавру), легко підрахувати кут , який коливається між 85÷89 градусами.

То ж у випадку косого або просторового згинання для перерізів ( ) нейтральна лінія не є ортогональною до сліду площини дії згинального моменту. Ця обставина є характерною рисою косого згинання. І навпаки, якщо головні моменти інерції однакові ( ), косе згинання унеможливлюється, бо кути і стають рівними, тобто нейтральна лінія стає ортогональною до сліду силової площини, а це є ознакою прямого згинання. Так відбувається у разі, якщо переріз балки є кругом, кільцем, квадратом і т.п.

Для визначення найбільш небезпечних точок ( у розтягнутій та стислій зонах) у випадку довільного перерізу проведемо дві паралельні до нейтральної лінії прямі, які дотичні до контурних точок перерізу. У створі між цими прямими будується епюра сумарних нормальних напружень.

Точки 1 та 2 є найбільш віддаленими від нейтральної лінії і тому найбільш напруженими (рис.3). У нашому прикладі в точці 1 діють максимальні розтягуючі, а у точці 2 – стискаючі напруження.

Таким чином, умови міцності для перерізу мають вигляд:

 

(9)

 

де та – допустимі напруження розтягання та стискання відповідно.

Якщо переріз має дві вісі симетрії, наприклад прямокутник, то співвідношення (9) дещо скорочуються:

 

(10)

В цих виразах

 

(11)

 

де – координати найбільш віддалених від нейтральної лінії точок.

У випадку, якщо матеріал стержня має однакову міцність на розтягання і стискання, тобто , то умови (10) перетворюються:

 

(12)

 

Зрозуміло, що найбільші напруження будуть спостерігатись у найбільш небезпечних перерізах, де згинальні моменти набувають своїх максимальних значень.

Відносно складових напруження у виразах (10) та (12) можна зробити наступні спостереження. У перерізах, де , що опиняються в умовах косого або просторового згинання, можна говорити про наявність «сильної» та «слабкої» площин перерізу. Тому дія малого згинального моменту у «слабкому» напрямку може привести до появи більших напружень, ніж при дії значного моменту у «сильній» площині.

Доречи, якщо переріз балки має виступаючі кути і може бути вписаний в прямокутник, то незалежно від положення нейтральної лінії найбільш віддаленими точками будуть відповідні кутові. У таких випадках, для розрахунків максимальних напружень у перерізі визначення положення нейтральної лінії втрачає сенс.

Добір перерізів при косому та просторовому згинанні – задача більш складна, ніж при прямому плоскому згинанні. При її розв’язанні треба задатися відношенням моментів опору:

(13)

 

Тоді, з урахуванням (13), умова міцності (11) буде мати вигляд:

 

(14)

 

а моменти опору визначаються наступним чином:

 

(15)

 

У випадку просторового згинання, якщо згинальні моменти набувають максимальних значень у двох різних перерізах, задача вирішується за допомогою метода спроб з послідуючою перевіркою. Перша спроба виконується у перерізі, де діє максимальний за абсолютною величиною момент. У іншому (другому) перерізі обов’язково виконується перевірка.

 

Приклад 1

Визначити номер двометрової консольної балки (рис. 4) з умови міцності, якщо , ,

.

 

 

Рисунок 4

 

Двотаврова балка знаходиться в умовах складного (просторового) згинання, бо згідно зі схемою навантаження (рис. 4) можна визначити дві силові площини, які перетинають поздовжню вісь двотавру. Одна з цих площин співпадає з головною центральною площиною , інша нахилена до горизонту під кутом .

Розкладемо зусилля по головним осям перерізу, та зведемо складне згинання до двох плоских згинань в площинах (рис. 5а) та (рис. 5б).

 

 

У кожній площині збудуємо епюри згинальних моментів. Дією поперечних зусиль будемо нехтувати.

 

 

 

 

 

Найбільший за модулем згинальний момент досягається в перерізі О, тому першу спробу добору двотавру зробимо саме для цього перерізу. Проаналізуємо напружений стан перерізу. З розподілу згинальних моментів у перерізі О визначимо знаки нормальних напружень у різних квадрантах перерізу (рис. 6).

 

Рисунок 6

 

Зважаючи на правила знаків для згинальних моментів, можна констатувати, що у площині в зону стискання потрапляють нижні волокна перерізу (волокна з від’ємною координатою у). У площині стислими є ліві волокна, або волокна з від’ємною координатою х (рис. 6). При лінійному розподілі нормальних напружень вздовж координат перерізу маємо дві найбільш напружені точки 1 та 2, для яких складемо умову міцності. Оскільки , то

 

 

Аналізуючи співвідношення для двотаврів, можна дістати висновку, що середнє значення коефіцієнта , тому

 

 

Для перерізу О теоретично необхідний момент опору дорівнює:

 

.

 

Для перерізу В теоретично необхідний момент опору дорівнює:

 

.

 

В якості моменту опору двотавру, що відповідає умові міцності в обох перерізах необхідно обирати більший з двох можливих:

 

.

 

З таблиць сортаменту добираємо найближчий більший двотавр №30а, який має наступні характеристики:

.

Тоді у перерізі В (рис. 7) максимальні напруження в точках 3,4 становлять:

 

.

 

Перенавантаження складає:

,

що цілком допустимо.

Розподіл напружень в поперечному перерізі має вигляд:

Рисунок 7

 

Визначаючи переміщення та кути повороту перерізів при косому та просторовому згинанні, також виходимо з принципу незалежності дії сил. Обчислюємо ці величини в кожній з головних площин та , а результати сумуємо геометрично.

Таким чином, повний прогин і кут повороту визначаються формулами:

 

(16)

 

Як приклад, обчислимо прогин вільного кінця консолі, навантаженою силою (рис.2а). Ці переміщення можна знайти багатьма способами (метод початкових параметрів, інтеграл Максвелла – Мора, спосіб Верещагіна і т.п.), які дають однакове рішення для прогину [1]:

 

(17)

 

Як і раніше розкладемо силу по головним осям. Тоді в площині маємо

 

,

 

відповідно у площині

 

.

Утворимо співвідношення

 

. (18)

Порівнюючи його з (8), достаємо висновку:

.

Якщо зважити, що кути та відлічуються від взаємно ортогональних напрямків (осей та відповідно), маємо (рис. 8)

Рисунок 8

 

тобто напрямок повного прогину у випадку косого та просторового згинання завжди ортогональний до нейтральної лінії перерізу. Тому для визначення цього напрямку необхідно попередньо знайти положення нейтральної лінії для будь-якого за формою перерізу.

 

Приклад 2

Розглянемо двотаврову балку №70, завантажену силою посередині (рис. 9).

Рисунок 9

 

З таблиць сортаменту для двотаврів геометричні характеристики поперечного перерізу:

Легко підрахувати опорні реакції, що становлять половину від сили (завдяки симетрії системи). Тоді при прямому згинанні

 

.

 

Максимальні напруження на полицях двотавру дорівнюють:

 

.

 

Максимальний прогин (у напрямку осі ) посередині балки (переріз С) підраховується як [1]

 

.

 

Припустимо, що при монтажі балки була зроблена невелика похибка у , на які стійка профілю відхилилася від вертикалі (рис. 10). Завдяки цьому маємо класичний випадок косого згинання.

 

Рисунок 10

 

Розкладемо силу по головних осях перерізу.

 

 

Розрахункові схеми навантаження в площинах та під дією сил відповідно є подібними до схеми прямого згинання (рис. 9). Максимальні згинальні моменти у перерізі С дорівнюють:

 

 

а максимальні напруження при косому згинанні

 

 

Співвідношення

 

 

вказує на зростання напружень при косому згинанні більше ніж у півтори рази (на 51,4 %). Згідно з формулою (16) повний прогин при косому згинанні є геометричною сумою прогинів у головних площинах перерізу (рис. 11) Напрям повного прогину лежить на перпендикулярі до нейтральної лінії.

 

Рисунок 11

 

Підрахуємо спочатку кут нахилу нейтральної лінії. Згідно з (7)

 

 

Таким чином, напрямок повного прогину при косому згинанні відхилився від вертикалі на . Підрахуємо повний прогин та порівняємо його з прогином при прямому згинанні.

 

Розрахунок свідчить, що у разі косого згинання прогини зростають майже вдвічі (на 99 %) для перерізів у яких .

Слід зауважити, що приведені результати мають місце для геометрично лінійної постановки задачі з малими переміщеннями, які розподіляються згідно з диференціальним рівнянням зігнутої осі балки [1].

Якщо прогини близькі до розмірів перерізів, то треба використовувати точне рівняння зігнутої осі балки, що забезпечує нелінійний зворотний зв'язок між згинальними моментами та прогинами балки:

.

 

Приклад 3

Доберемо номер двотаврової стійки, нахиленої до горизонту під кутом під дією сили (рис. 15а). Нехай допустимі напруження для сталі становлять .

 

Рисунок 15

 

Будемо вважати, що навантаження здійснюється в площині , яка є головною площиною балки.

Проектуючи силу на головні осі та (рис. 15б), маємо сумісну дію плоского прямого поперечного згинання в площині під дією проекції та розтягання балки у перерізах ділянки ВС від сили .

Рисунок 16

 

Аналіз епюр згинального моменту та поздовжньої сили свідчить, що найбільший навантажений переріз розташований у точці С справа (рис. 16). Орієнтація внутрішніх зусиль та розподіл нормальних напружень у цьому перерізі (рис.17) вказують, що алгебраїчна сума напружень найбільша у точках нижньої полиці двотавру. Для них з умови міцності при згинанні зробимо першу спробу добору перерізу:

 

 

Рисунок 17

 

Із сортаменту для двотаврів знаходимо найближчий більший за моментом опору. Це двотавр № 18, який має .

Перевіримо добір з урахуванням напружень розтягання від поздовжньої сили .

 

Перенапруження для даного двотавра становить 7,3 % >5 %. Тому треба збільшити номер двотавра і призначити наступний – 18а, для якого .

У цьому разі

 

 

Приклад 4

Як приклад розрахунків на позацентрове розтягання (стискання), доберемо допустиме значення сили , яку прикладено до колони (рис. 21) і визначимо ядро перерізу. Будемо вважати, що матеріал колони має різний опір на розтягання і стискання, тому , . Розміри перерізу колони наведені на рис. 21.

 

Рисунок 21

 

Для проведення розрахунків на позацентрове розтягання (стискання) першочергово необхідно визначити геометричні характеристики поперечного перерізу відносно головних центральних осей інерції (осьові моменті інерціїї, радіуси інерції, площу перерізу).

Спочатку для складного перерізу бруса визначаємо положення центру ваги. Для цього складний профіль переріза розіб’ємо на два прямокутника з власними центральними осями та відповідно (рис. 22). Збіг центральних осей свідчить про наявність симетрії у перерізі. А якщо ось – ось симетрії, то вона є головною центральною віссю перерізу, центр ваги якого знаходиться на цій осі. Тому інша координата центру ваги .

Залишається визначити розташування центру ваги вздовж осі . Для цього скористаємося співвідношенням:

 

(33)

 

де – площа кожної складової перерізу,

– статичний момент площі, відносно осі ,

– координата центра ваги складової площі перерізу.

 

Рисунок 22

 

Для застосування формули (33) треба обрати опорну вісь , відносно якої підраховується сумарний статичний момент перерізу.

Отриманий результат відкладаємо від опорної осі (рис. 22). Таким чином центр ваги всього перерізу знайдено і, одночасно, визначена система головних центральних осей перерізу .

Сумарна площа перерізу визначається як алгебраїчна сума площ окремих частин:

Осьові моменти інерції перерізу відносно головних центральних осей інерції визначаються за виразами [1]:

 

(34)

 

де , – моменти інерції складової перерізу, підраховані відносно власних центральних осей;

– відстань між осями та ;

– відстань між осями та . Для перерізу з віссю симетрії ,

 

;

 

У системі головних центральних осей інерції полюс (точка, де прикладена сила ) має координати

Наступним кроком до вирішення задачі має бути приведення сили з полюса до центра ваги переріза – точки . На рис. 23 в цій точці з’являється окрім сили ще й два моменти: у площині та у площині .

 

Рисунок 23

 

Таким чином маємо:

 

(35)

 

Силові фактори (35) діють у будь-якому перерізі колони і призводять до появи нормальних напружень, розподіл яких приведено на рис. 23. З цього розподілу витікає, що точки першого квадранту (де розташований полюс) мають напруження одного знаку (від’ємні). То ж нейтральна лінія має пройти крізь другий, третій та четвертий квадранти (рис. 24).

 

Рисунок 24.

 

Згідно (30) підрахуємо відрізки та :

 

Таким чином, рівняння нейтральної лінії згідно з (29) стає:

 

 

або після алгебраїчних перетворень доведемо його до стандартного виду :

 

. (36)