Сумісна дія просторового згинання з розтяганням (стисканням)

Для отримання цього виду складного деформування стержня дещо ускладнімо розрахункову схему косого або просторового згинання, додавши до неї осьове навантаження силою (рис. 12).

Розклавши, як і раніше, зусилля по головних осях X та Y

 

;

 

у довільному перерізі балки маємо дію двох згинальних моментів , та поздовжньої сили (рис.13а). Напрямок їх дії показаний на рис. 13б.

Рисунок 12

 

 

Рисунок 13

 

Малими дотичними напруженнями від дії поперечних зусиль , (як і у випадку косого або просторового згинання) будемо нехтувати.

Внутрішні зусилля перерізу (рис.13б) приводять до появи нормальних напружень, розподіл яких наведено на рис. 14.

 

Рисунок 14

 

Таким чином, у довільній точці перерізу маємо простий (лінійний) напружений стан.

 

. (19)

 

Як і у рівняннях (5), знаки приписуємо кожному сполучнику формули (19) окремо, залежно від деформації відповідного квадранту переріза.

Умови міцності для цього виду деформованого стану можна сформулювати наступним чином:

а) якщо матеріал стержня має різну міцність на розтягання – стискання:

 

(20)

 

де – координати найбільш віддалених від нейтральної лінії точок у розтягнутій та стислій зоні відповідно.

б) у разі однакового опору розтяганню (стисканню), тобто коли

 

; (21)

 

в) для перерізу, що має дві осі симетрії

 

(20.1)

 

а у разі, якщо

 

(21.1)

 

д) для перерізу, що має форму кола або кільця, завдяки співвідношенням

 

;

 

вирази умови міцності набувають вигляду:

 

(20.2)

 

а при

 

. (21.2)

 

При сумісній дії розтягання (стискання) та складного або косого згинання нейтральна лінія є також прямою, але такою, що не перетинає центр ваги перерізу (початок координат) завдяки наявності (рис. 14). Неважко це встановити і математично, якщо вважати координатами точки, яка належить до нейтральної лінії. Тоді з (19) витікає рівняння цієї прямої:

 

. (22)

 

Шляхом алгебраїчних перетворень зведемо (22) до рівняння прямої у «відрізках на координатних осях»

 

. (23)

 

Таким чином, у даному випадку складного опору нейтральна лінія є прямою, яка проходить крізь квадранти з різними знаками нормальних напружень і відсікає відрізки:

 

(24)

 

на відповідних координатних осях.

Добір розмірів перерізу при сумісній дії згинання та розтягання (стискання) проводиться спочатку без впливу поздовжньої сили . Наприклад, для бруса круглого перерізу момент опору має дорівнювати:

 

. (25)

 

Для бруса прямокутного або двотаврового перерізу

 

. (26)

Співвідношенням треба задатися. Так, для прямокутного перерізу , для двотаврової балки приймають середнє відношення і знаходять потрібний номер двотавра методом послідовних наближень. Першу спробу роблять по найбільшому за модулем згинальному моменту. Друга спроба, у випадку складного згинання, повинна перевірятися з урахуванням іншої складової згинального моменту та додаткових напружень від поздовжньої сили . Допустиме перевантаження не повинно перевершувати 5 %.

Одержані співвідношення (19) – (26) легко поширюються на окремий випадок сумісної дії плоского згинання та розтягання (стискання). Для цього в зазначених рівняннях треба прийняти (або ).

 

Приклад 3

Доберемо номер двотаврової стійки, нахиленої до горизонту під кутом під дією сили (рис. 15а). Нехай допустимі напруження для сталі становлять .

 

Рисунок 15

 

Будемо вважати, що навантаження здійснюється в площині , яка є головною площиною балки.

Проектуючи силу на головні осі та (рис. 15б), маємо сумісну дію плоского прямого поперечного згинання в площині під дією проекції та розтягання балки у перерізах ділянки ВС від сили .

Рисунок 16

 

Аналіз епюр згинального моменту та поздовжньої сили свідчить, що найбільший навантажений переріз розташований у точці С справа (рис. 16). Орієнтація внутрішніх зусиль та розподіл нормальних напружень у цьому перерізі (рис.17) вказують, що алгебраїчна сума напружень найбільша у точках нижньої полиці двотавру. Для них з умови міцності при згинанні зробимо першу спробу добору перерізу:

 

 

Рисунок 17

 

Із сортаменту для двотаврів знаходимо найближчий більший за моментом опору. Це двотавр № 18, який має .

Перевіримо добір з урахуванням напружень розтягання від поздовжньої сили .

 

Перенапруження для даного двотавра становить 7,3 % >5 %. Тому треба збільшити номер двотавра і призначити наступний – 18а, для якого .

У цьому разі