Теорема умножения вероятностей независимых событий

Определение: Два события A и B называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления или не наступления другого, т.е. имеет место равенство: P_B(A)=P(A) и P_A(B)=P(B).

Теорема: Вероятностью совместного наступления двух независимых событий является произведение вероятностей этих событий:

P(AB)=P(A)*P(B)

Задача №11. В одном ящике находится 4 зеленых ручки и 8 синих, а в другом – 3 зеленных и 9 синих. Из каждого ящика вынули по ручки. Какова вероятность того, что обе ручки окажутся: 1) зелеными, 2) синими

Решение: А – «1 - зеленная ручка», В 2 – «красная ручка»

1) P(AB)=4/(4+8)*3/(4+8)=4/12*3/12=12/144=1/12

2) P(AB)=8/(4+8)*9/(4+8)=8/12*9/12=2/3*3/4=6/12=1/2

Задача №12. Рабочий обслуживает два станка, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в течении часа первый станок не потребует внимания рабочего, равно 0,8, а для второго 0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа не один станок не потребует внимания рабочего. (Ответ: P(AB)=0,8*0,7=0,56).

Лекция №3

Тема: Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула полной вероятности

Известна полная группа событий: В₁, В₂, В₃, … В_n попарно несовместных. Требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти с одним из событий из группы, тогда:

P(A)= P(В₁)* P_B1(A)+ P(В₂)* P_B2(A)+ P(В₃)*P_B3(A)+ …+P(В_n)*P_Bn(A)

Вероятность наступления события А равна сумме произведений каждого события из этой группы на соответствующую условную вероятность события А.

Задача №13. В магазин поступила новая продукция с трёх предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% - продукция первого предприятия высшего сорта, на втором – 5%, на третьем – 20%. Найти вероятность того, что случайно купленная продукция окажется высшего сорта.

Решение: А – «продукция высшего сорта», В₁, В₂, В₃ - «продукция принадлежащая соответствующим предприятиям», P(A)=0,2*0,1+0,3*0,05+0,5*0,2=0,02+0,015+0,1=0,135 или 13,5%

 

Задача №14. На предприятии изготавливают изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 30% изделия, на втором – 25%, на третьем остальная часть продукции. Каждая линия характеризуется процентами годности изделий: 97%, 98%, 96%. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным (Ответ: P(A)=0,3*0,03+0,25*0,02+ 0,45*0,04=0,032 или 3,2%))

Формула Байеса

Известна полная группа событий В₁, В₂, В₃, … В_n попарно несовместных. Произведен опыт в результате, которого появилось событие А. Следует выяснить как часто будут появляться события В₁, В₂, В₃, … В_n среди опытов, в которых события А происходит, следует найти условную вероятность каждого события из группы, тогда:

P_A(B_i)= P(B_i)* P_Bi(A)/ P(A)

Задача №15. На склад поступает продукция из трёх фабрик, причем продукция первой фабрики составляет - 20%, второй – 46%, третьей – 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен - 3%, для второй – 2%, третьей – 1%. Найдите вероятность того, что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике.

Решение: А – «нестандартное изделие», В₁, В₂, В₃ - «изделия, принадлежащие соответствующим фабрикам», _A(B₁) – «нестандартное изделие первой фабрики», P_A(B₁)=0,2*0,03/(0,2*0,03+0,46*0,02+0,34*0,01)=0,32 или 32%

Задача №16. В первом ящике имеются 8 белых и 6 черных шаров, а во втором 10 белых и 4 черных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что выбранный шар черный. Найти вероятность того, что был выбран первый ящик (Ответ: А – «черный шар», В₁, В₂ – соответствующие ящики, P_A(B₁)=6/14*1/2/(6/14*1/2+4/10*1/2)=3/5)

Практические задания по теории вероятностей

1. Отдел технического контроля обнаружил 15 бракованных ламп в партии из случайно отобранных 200 ламп. Найти относительную частоту появления бракованных ламп.

2. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,8. найти число годных приборов, если всего было проверено 250 приборов.

3. В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность появления цветного шара?

4. Леня и Саша играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Лена выиграла.

5. В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 - немецкий, а 50- знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?

6. На складе находятся 26 деталей из которых 13 стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Пользуясь теоремой умножения вероятностей зависимых событий определить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

7. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

8. Два стрелка стреляют по цели одновременно. Вероятность попадания 1 стрелка 0, 4, вероятность попадания 2 стрелка 0. 5. Какова вероятность того, что оба стрелка не попадут в цель?

9. Пенсионер гуляет по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Пенсионер начинает прогулку в точке А. Найдите вероятность того, что он придет в точку.

10. На соревнованиях по прыжкам вводу приехали 6 спортсменов из Италии, 3 из Германии и 3 из России. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что третьим будет выступать спортсмен из Германии.

Тест

1. Каково максимальное значение вероятности суммыпротивоположных событий?

а) 0,5;

6) 0,25;

в) 1,0;

г)0,64.

2. Чему равна вероятность достоверного события?

а) 0,5;

6) 0;

в) 1,0;

г) 0,25.

3. Монета подбрасывается два раза. Какова вероятность выпадения "орла^» один раз?

а) 1,0;

6) 0;

в) 0,25;.

г) 0,5.

4. Монета была подброшена 10 раз. "Герб" выпал 4 раза. Какова относительная частота выпадения "герба"?

а) 0;

б) 0,4;

в) 0,5;

г) 0,6.

5. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами студентов из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В - 0,2. Какова вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С?

а) 0,14;

6) 0,1;

в) 0,86;

г) 0,9.

6. Какова вероятность выигрыша хотя бы одной партии у равносильного противника в матче, состоящем из трех результативных партий?

а) 0,875;

6)1;

в) 0,375;

г) 0,333.