Государственное автономное профессиональное

Государственное автономное профессиональное

образовательное учреждение

«Оренбургский учетно-финансовый техникум»

 

 

Е. А. Кургина

 

СБОРНИК ОПОРНЫХ КОНСПЕКТОВ

И ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

По теме: «Элементы теории комбинаторики, теории вероятностей»

 

Оренбург 2016

 

Сборник предназначен для студентов по специальности: 39.02.01 «Социальная работа», 40.02.01 «Право и организация социального обеспечения», 40.02.03 «Право и судебное администрирование» очной формы обучения и может быть использовано при подготовке к экзамену.

 

 

Рассмотрено

на заседании ПЦК

математических и естественнонаучных дисциплин

Протокол № 6 от 28.01. 2016 г.

Председатель ПЦК ______ Н.В. Борисова

 

Утверждено

научно - методическим советом

Протокол № ____ от ________________ 2016 г.

Заместитель директора

техникума по учебной дисциплине_________ Т.Н. Тарасова

 

Содержание

1 Пояснительная записка…………………………………………….......
2. Лекции по теории комбинаторики……………....................................
2.1 Лекция №1. Тема: Элементы теории комбинаторики……………...
2.2 Лекция №2. Тема: Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона…………………………………………………………………...
3. Практические задания по комбинаторике……………………………
4 Лекции по теории вероятностей…….………………………………....
4.1 Лекция №1. Тема: Элементы теории вероятностей…….………….
4.2 Лекция №2. Тема: Теорема сложения и умножения вероятностей событий……………………………………………………………………
4.3 Лекция №3. Тема: Формула полной вероятности. Формула Байеса
5 Практические задания по теории вероятностей…………………........
6 Тест.………………………………………………................................... 7 Список используемых источников…………………………………….

 

Пояснительная записка

Комбинаторика - это раздел математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов данного множества.

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий общие устойчивые закономерности в массовых случайных явлениях и количественные оценки степени возможности появления или не появления этих случайных явлений.

Эти теории находят многочисленные приложения как в естественных, так и в гуманитарных науках (естествознание, статистика, кибернетика, филология, экономика, техника, и т.д.)

Методическая разработка полностью соответствует учебной программе по дисциплине БД.03 «Математика», предназначенной для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности: 39.02.01 «Социальная работа», 40.02.01 «Право и организация социального обеспечения», 40.02.03 «Право и судебное администрирование» очной формы обучения

Цель методической разработки - помочь учащимся освоить и закрепить фундаментальные понятия случайного события, случайной величины, условной вероятности, познакомить с теоремами сложения, умножения вероятностей, для выработки умений применения полученных знаний при решении конкретных задач. В разработке приведены примеры задач и их решения, а также примеры типичных задач для самостоятельного вычисления, для самоконтроля в методической разработке приведён тест.

 

 

Лекция №1

Лекция №2

Тема: Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона.

Треугольник Паскаля

Свойство №3 используют при построении треугольника Паскаля.

Определение: Эта таблица называется треугольником Паскаля, по имени известного французского математика Блеза Паскаля (1623-1662), исследовавшего его свойства.

С

С С

С С С

С С С С

С С С С С

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Определение: Для каждого натурального числа n и произвольных чисел a и b имеет место равенств:

Равенство называется формулой бинома Ньютона, где и называют биномиальными коэффициентами.

Формула Ньютона обладает следующими свойствами:

1) В разложении двучлена(а+b)ⁿ в формуле содержится n+1 член.

2) Сумма степеней всех одночленов раны степени двучлена n.

3) Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой.

4) Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.

5) Биноминальные коэффициенты совпадают с числом соответствующей строки треугольника Паскаля.

6) Сумма биноминальных коэффициентов разложения равна 2ⁿ

Задача №1: Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена.

(a +b)² = а² +2аb + 2b²

(а +b)³ = а³ +3а²b+3аb² +b³

(с +а)⁴ = с⁴+ 4с³а +6с²а² + 4са³ +а⁴

(с +а)⁵ =

(с +а)⁶=

(с +а)⁴

Практические задания по комбинаторике

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

2 Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена:

а) (х +2у)²,

б) (а- b)³,

в) (а+1)³,

г) (с+3а)⁴,

д) (1- 2а)⁴,

е) (х -2)⁵,

ж) (х+у)⁶

з) (х - 1)⁷

3. На этаже четыре кабинета для проведения занятий: русского языка, математики, естествознания, английского. Сколькими способами можно распределить кабинеты на этаже?

4. В вашей группе в среду пять уроков: русский язык, литератур, математика, информатика, ЧКР. Сколько вариантов расписания можно составить?

4 Изменяя порядок слов: руки, мою, я, составьте всевозможные предложения.

5 При встрече 5 человек обменялись рукопожатиями. Сколько сделано рукопожатий?

6 Сколько существует способов выбора трёх ребят из 4-х желающих дежурить в столовой?

7 Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 человек, можно создать из 5 преподавателей?

8 Сколько различных четных трехзначных чисел, в каждом из которых все цифры различны, можно составить из цифр 1, 2, 3, 0?

9. Сколькими способами можно составить расписание на день из 4 различных уроков, если изучается 10 предметов?

10. Бригадир должен отправить на работу бригаду из 4 человек. Сколько бригад по 4 человека в каждой можно составить из 13 человек?

11.Сколько различных трехцветных флагов можно сделать, комбинируя синий, красный и белый цвета?

12 Сколько различных двузначных чисел можно составить из данных 5 цифр:1,2,3,4,5.

Лекция №1

Лекция №2

Лекция №3

Тест

1. Каково максимальное значение вероятности суммыпротивоположных событий?

а) 0,5;

6) 0,25;

в) 1,0;

г)0,64.

2. Чему равна вероятность достоверного события?

а) 0,5;

6) 0;

в) 1,0;

г) 0,25.

3. Монета подбрасывается два раза. Какова вероятность выпадения "орла^» один раз?

а) 1,0;

6) 0;

в) 0,25;.

г) 0,5.

4. Монета была подброшена 10 раз. "Герб" выпал 4 раза. Какова относительная частота выпадения "герба"?

а) 0;

б) 0,4;

в) 0,5;

г) 0,6.

5. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами студентов из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В - 0,2. Какова вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С?

а) 0,14;

6) 0,1;

в) 0,86;

г) 0,9.

6. Какова вероятность выигрыша хотя бы одной партии у равносильного противника в матче, состоящем из трех результативных партий?

а) 0,875;

6)1;

в) 0,375;

г) 0,333.

государственное автономное профессиональное

образовательное учреждение

«Оренбургский учетно-финансовый техникум»

 

 

Е. А. Кургина

 

СБОРНИК ОПОРНЫХ КОНСПЕКТОВ

И ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ