Логическая операция ИНВЕРСИЯ

· соответствует частице НЕ;

· обозначается черточкой над именем переменной;

· иначе называется ОТРИЦАНИЕ.

Инверсия логической переменной истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.
Таблица истинности инверсии имеет вид:

A

Операция логического сложения (дизъюнкция)

Соединение двух высказываний А и В в одно с помощью союза “ИЛИ”, употребляемого в неисключающем смысле, называется логическим сложением (дизъюнкцией), а полученное составное высказывание - логической суммой.
Пример высказывания, употребляемого в исключающем смысле: ”Председателем кооператива “Аметист” будет избран Иванов, или председателем кооператива “Аметист” будет избран Петров”.
Здесь союз “или” имеет исключающий характер (две рассматриваемые возможности исключают одна другую: или то, или это, что-то одно). Два председателя на одну и ту же должность избраны быть не могут.
Пример высказывания, употребляемого в неисключающем смысле:
“Петя умеет плавать, или Петя умеет прыгать”. В этом предложении союз “или” имеет неисключающий характер (или то, или это, или и то и другое вместе); возможно и то, и другое.

Дизъюнкция обозначается знаком “+” или знаком “ Ú“ (А + В или АÚ В)
Пример: - А: “6 - число кратное 3”
- В: “19> 37”
Логической суммой (А+В) или дизъюнкцией этих высказываний будет
“Шесть - число кратное трем или 19>37”

Логическая операция дизъюнкция

· соответствует союзу ИЛИ;

· обозначается знаком Ú или +,

· иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ.

Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных дизъюнкцией.
А Ú В Ú С =0, только если А=0, В=0, С=0.
Таблица истинности дизъюнкции имеет следующий вид:

A	B	АÚВ

Операция логического умножения (конъюнкция)

Соединение двух высказываний А и В в одно с помощью союза “И”, называется логическим умножением (конъюнкцией).
Результат умножения (составное высказывание) называется логическим произведением.
Обозначение: А· В или А Ù В
Пример: Пусть даны два простых высказывания:
А: “Вильнюс - столица Литвы.”
В: “В Вильнюсе проживает 1 млн. жителей.”
Получим конъюнкцию:
Вильнюс - столица Литвы и в Вильнюсе проживает 1млн. жителей.

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ

· соответствует союзу И;

· обозначается знаком Ù или ·;

· иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ.

Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных конъюнкцией.
А Ù В Ù С=1, только если А=1, В=1, С=1.
Таблица истинности конъюнкции имеет следующий вид:

A	B	А Ù В

Импликация.

Логическая операция, соответствующая союзу “если..., то...” называется импликацией.
Будем обозначать эту операцию символом ®. Запись А® В читается так: “если А, то В”, либо “А имплицирует В”.
С - “Если число n делится на 4, то оно делится на 2”
D - “Если Иванов увлечен математикой, то Петров ничем, кроме хоккея, не интересуется.”

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ

· соответствует союзу ЕСЛИ..., ТО...;

· обозначается знаком ®.

Импликация высказываний ложна лишь в случае, когда А истинно, а В ложно.
Обещание приятеля: “Если будет хорошая погода, то я приду к тебе в гости”, - вы расцените как ложь в том и только в том случае, когда погода будет хорошая, а приятель к вам не придет.
Таблица истинности импликации:

А	В	А® В

Эквиваленция.

Логическая операция, соответствующая союзу “тогда и только тогда, когда” называется эквиваленцией.
Введем для обозначения эквиваленции символ «.
Запись А «читается так: “А тогда и только тогда, когда В”.
Когда мы говорим “А тогда и только тогда, когда В”, то имеем в виду, что оба предложения А и В одновременно истинны, либо одновременно ложны.
Например, “Я поеду в Ленинград тогда и только тогда, когда ты поедешь в Киев.”

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ

· соответствует союзу ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА...;

· обозначается знаком «.

Эквиваленция двух высказываний истинна в том и только в том случае, когда оба эти высказывания истинны или оба ложны.

А	В	А«В

Пример.
sin 30° = 1/2 «2· 2=4 истина
sin 30° = 1/2 «2· 2=5 ложь
sin 30° = 1 «2· 2=4 ложь
sin 30° = 1 «2· 2=5 истина

Задания и упражнения.

1. Даны простые высказывания:
А: “Петя умеет плавать”
В: “Сергей умеет прыгать”
С: “Алеша умеет стрелять”
Даны формулы сложных высказываний, составленные из этих простых. Прочтите их, используя смысл каждого простого высказывания:
1. А+В·
2. · В·
3. А· В·
4. А · · С
5. А· ·
6.

2. Даны простые высказывания:
“Данное число не кратное 3”
“Данное число больше 50”
Прочтите сложные высказывания:
1). А× 2). 3). ·

3. Прочтите формулы:
а). (A® D) Ù B; б). С U А Ù D; в). D Ù (B«( · C))

4. В состав истинного логического произведения входят три простых высказывания - A,B,C. Известно, что A и B - истинны. Может ли высказывание C быть одним из следующих:

а) “Дважды два равно семи”.
б) “Слоны живут в Африке и Индии”.
в) “5x + 3 = 11x”.

5. Дано высказывание: “Иванов является членом сборной команды “Алгоритм”. Какое из следующих высказываний есть логическим отрицанием данного?
а). Не Иванов является членом сборной команды “Алгоритм”.
б). Иванов является членом сборной команды не “Алгоритм”.
в). Иванов не является членом сборной команды “Алгоритм”.
г). Неверно, что Иванов является членом сборной команды “Алгоритм”.

6. Определите значения истинности высказываний:
а). “Если 16 делится на 4, то 16 делится на 2”.
б). “Если 17 делится на 4, то 17 делится на 2”.
в). “Если 18 делится на 4, то 18 делится на 2”.
г). “Если 18 делится на 2, то 18 делится на 4”.
д). “Если 2· 2=5, то 8³ ¹ 500”.
е). “Если 2· 2=4, то 7² =81”.
ж). “Если телепатия существует, то некоторые физические законы требуют пересмотра”.
з). “16 делится на 4 тогда и только тогда, когда 16 делится на 2”.
и). “17 делится на 4 тогда и только тогда, когда 17 делится на 2”.
к). “18 делится на 4 тогда и только тогда, когда 18 делится на 2”.
л). “15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 10”.

Таблицы истинности

Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции.

Таблицы истинности применяются для:
- вычисления истинности сложных высказываний;
- установления эквивалентности высказываний;
- определения тавтологий.