ТОП 10:

Установление истинности сложных высказываний.



Пример 1. Установить истинность высказывания · С
Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

А В С А+ · С
0 1 1 0 0 1 1

Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.

Эквивалентность высказываний.

С помощью таблиц истинности можно установить эквивалентность двух или нескольких высказываний.

Высказывания называются эквивалентными, если соответствующие значения каждого из них совпадают в таблице истинности.

Пример 2. Утверждается, что высказывание А+В· С эквивалентно высказыванию (А+В)· (А+С)
Решение. Проверка ведется путем составления таблицы истинности.

А В С В С А+В· С А+В А+С (А+В)· (А+С)

Сравнивая 5-ю и 8-ю колонки убеждаемся, что все значения, получаемые по формуле А+В· С, совпадают со значениями, получаемыми по формуле (А+В)· (А+С), т.е. высказывания эквивалентны (равносильны). Одно может заменить другое.
Эквивалентные (равносильные) высказывания соединяют знаком º А + В·Сº (А+В)· (А+С).
Отметим различие между эквивалентностью и эквиваленцией.
Эквиваленция является логической операцией, позволяющей по двум заданным высказываниям А и В построить новое А« В.
Эквивалентность же является отношением между двумя составными высказываниями, состоящим в том, что их значения истинности всегда одни и те же.

Тавтология.

Пусть дано высказывание А· и необходимо составить таблицу истинности.
Высказывание А· ложно, истинность его не зависит от истинности высказывания А.

А А·

Рассмотрим высказывание В+ .
В этом случае высказывание В+ всегда истинно, независимо от истинности В.

В В+

Высказывания, истинность которых постоянна и не зависит от истинности входящих в них простых высказываний, а определяется только их структурой, называются тождественными или тавтологиями.
Различают тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания.
В формулах каждое тождественно-истинное высказывание заменяется 1, а тождественно-ложное - 0. Закон исключенного третьего.
º 0
В+ º 1

Пример 3. Докажите тавтологию (XÙ Y)® (XÚ Y)
Решение.

X Y XÙ Y XÚ Y (XÙ Y)® (XÚ Y)

Т.к. высказывание (XÙ Y)® (XÚ Y) всегда истинно, то оно является тавтологией.

Пример 4. Докажите тавтологию ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
Решение.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F

X Y Z X® Y Y® Z X® Z F1Ù F2 (F1Ù F2) ® F3

Из таблицы видно, что исследуемое высказывание - тавтология, т.к. оно истинно постоянно.

Вопросы и задания.

1.Какому из ниже приведенных высказываний:

а) (A+C); б) +B; в) +C); г) A+ ;
эквивалентно высказывание (B+C)

2. Установите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул - тавтологии:
а) « ); б) ; в) ;

г) ; д) (X® Y)« (Y® X); е) (X® Y)« ;

ж) (X® Y)« .

3. Установить истинность высказывания

4. Эквивалентны ли высказывания:
и ?

5. Установить, является ли данное высказывание тавтологией:
а) ; б)

6. Для каждой формулы придумайте формализуемые ими предложения:
а) ; б) ; в) .

7. Из простых высказываний: “Виктор хороший пловец” - А; “Виктор хорошо ныряет” - В; “Виктор хорошо поет” - С, составлено сложное высказывание, формула которого имеет вид:
X=(A+C)· (A+B). Установить, эквивалентно ли высказывание Х высказыванию: “Виктор - хороший пловец и Виктор хорошо поет”.

8. Установить истинность высказываний:
а) ; б) ;
в) ((X1® X2)® X3)Ù (X3« X1); г) ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z).

9. Установить истинность высказываний:
а) , , ;
б) , , ;
в) , , ;
г) , , .

Законы логики

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики.
Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств.
Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.
Перечислим наиболее важные из них:
1. Xº X Закон тождества
2. Закон противоречия
3. Закон исключенного третьего
4. Закон двойного отрицания
5. XÙ Xº X , XÚ Xº C Законы идемпотентности
6. C Ù U º U Ù C , C Ú U º U Ú C Законы коммутативности (переместительности)
7 . ( C Ù U ) Ù Z ºC Ù ( U Ù Z ) , ( C Ú U ) Ú Z º C Ú ( U Ú Z ) - Законы ассоциативности (сочетательности)
8. C Ù ( U Ú Z ) º ( C Ù U ) Ú ( C Ù Z ) , C Ú ( U Ù Z ) º ( C Ú U ) Ù ( C Ú Z ) - Законы дистрибутивности (распределительности)
9. , Законы де Моргана
10. XÙ 1º C , C Ú 0 º C
11. C Ù 0 º 0 , C Ú 1 º 1
12. C Ù ( C Ú U ) º C , C Ú ( C Ù U ) º C Законы поглощения
13. ( C Ú U ) Ù ( Ú U ) º U , ( C Ù U ) Ú ( Ú U ) º U Законы склеивания

1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.

Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием.
“Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.

Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.

Закон двойного отрицания.Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание.
“ Неверно, что 2× 2¹ 4”

Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.

Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.
В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806-1871) - шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках:
- отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.
- отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.

Доказать законы логики можно:
1) с помощью таблиц истинности;
2) с помощью равносильностей.
Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:
1) ( C Ú U ) Ù ( Ú U ) º ( C + U ) × ( + U ) º C × + U × + U × U + C × U ºU × + U + C × U º U × +U ( 1 + C ) º U × + U º U ( + 1 ) º U (Закон склеивания)

2) C Ù ( C Ú U ) º C × C +C × U º C +C × U º C ( 1 + U ) º C (Закон поглощения)

Задание.Доказать законы логики с помощью таблиц истинности.

Тождественные преобразования

Упрощение формул.

Пример 1. Упростить формулу (АÚВ)· (АÚС)
Решение.
а) Раскроем скобки ( A Ú B ) · ( A ÚC ) º A · A Ú A · C Ú B · A Ú B · C
б) По закону равносильности A · A º A , следовательно,
A · A Ú A · C ÚB · A Ú B · C º A ÚA · C Ú B · A Ú B · C
в) В высказываниях А и А· C вынесем за скобки А и используя свойство АÚ1º 1, получим АÚА· СÚ B · A Ú B · C º A ·( 1 ÚС) Ú B · A Ú B · Сº A ÚB · A Ú B· С
г) Аналогично пункту в) вынесем за скобки высказывание А.
AÚB · A Ú B · Сº A ( 1ÚB )ÚB · Сº A Ú B · С
Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

2. Преобразования “поглощение” и “склеивание”

Пример 2. Упростить выражение АÚ A · B

Решение. A ÚA · B º A ( 1 Ú B ) º A - поглощение

Пример 3. Упростить выражение A · B Ú A ·
Решение.
A · BÚA · º A ( B Ú ) º A - склеивание

3. Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний - все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.
Пример 4.
Преобразовать формулу так, чтобы не было отрицаний сложных высказываний.
Решение.
1. Воспользуемся формулой де Моргана, получим:

2. Для выражения применим еще раз формулу де Моргана, получим:

4. Любую формулу можно тождественно преобразовать так, что в ней не будут использованы:
- знаки логического сложения;
- знаки логического умножения.
А будут использованы:
- знаки отрицания и логического умножения;
- знаки отрицания и логического сложения.

Пример 5. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения.
Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана.

Пример 6. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического умножения.
Решение. Используя формулы де Моргана и закон двойного отрицания получим:




Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. Обратная связь - 54.145.117.60