Означення аналітичної функції. Поняття Конформного відображення

 

Означення9. Функція диференційована в кожній точці області називається аналітичною в області .

Означення10. Функція називається аналітичною в точці , якщо вона аналітична в деякому околі точки .

З властивостей похідної слідує, що справедливі твердження:

1) якщо , аналітичні в , то – аналітична всюди, де ;

2) якщо в аналітична, а аналітична в області, що є образом при відображенні , то функція аналітична в :

3) якщо аналітична в і , , то в області значень функції визначена обернена функція – аналітична в , причому .

Наприклад, – аналітична () у всій площині окрім точки , – аналітична функція окрім точок , в яких знаменник перетворюється в нуль.

Нехай відображає площину z у площину . Розглянемо на площині z дві довільні гладкі криві , які перетинаються у точці .

Якщо при відображенні криві переходять у криві відповідно ( перетинаються у точці ), кути між кривими у точці та кривими у рівні, то кажуть, що відображення у точці має властивість збереження кутів.

Нехай відображення площини z у площину . Розглянемо у площині z трикутник з вершиною в точці та довільними нескінченно малими лінійними елементами , , які виходять з . Якщо при відображенні він переходе у трикутник з вершиною в точці , який подібний вихідному, з точністю до нескінченно малої більш високого порядку, ніж сторони вихідного трикутника, то кажуть, що відображення в точці має властивість постійності розтягування.

Означення11. Взаємнооднозначне відображення області комплексної площини z на область D комплексної площини називається конформним, якщо це відображення у всіх точках z має властивість збереження кутів і постійності розтягування.

Якщо кути при відображені не змінюють направлень, то кажуть про конформне відображення І-го роду. Якщо кути змінюють направлення на протилежні, то кажуть про конформне відображення ІІ-го роду.

Крім того, кажуть, що відображення конформне у нескінченно віддаленій точці, якщо відображає початок z= 0 конформно у площину .

Теорема3. Для того, щоб функція реалізувала конформне відображення І-го роду області , необхідно і достатньо, щоб в цій області функція була:

1. однолистою;

2. аналітичною;

3. для будь-якого z ;

Доведення: див. [2, с. 107], [1, 146].

Приклад 1. відображає площину z на конформно, бо .

Приклад 2. дзеркальне відображення відносно осі Ox, змінює напрям кутів на протилежний. Таким чином – конформне відображення ІІ-го роду (хоча функція не аналітична!)

Вправи

Знайти точки, в яких відображення конформне (І-го роду).

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Чи конформні відображення у нескінченно віддаленій точці

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Покажіть, що відображення здійснюють конформне відображення ІІ-го роду

9) ;

10) , задовольняє теоремі.