Змістовний модуль №1. Комплексні числа та їх геометричне представлення 5

Зміст

Змістовний модуль №1. Комплексні числа та їх геометричне представлення 5

1.1. Комплексні числа. Форми запису комплексного числа. Дії над комплексними числами. 5

1.2. Послідовності і ряди комплексних чисел. Степеневий ряд. 8

Змістовний модуль №2. Похідна функції комплексної змінної 11

2.1 Функції із С в С. Границя, неперервність. 11

2.2. Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості 14

2.3. Геометричний зміст модуля і аргументи похідної комплексної функції 17

2.4. Означення аналітичної функції. Поняття Конформного відображення. 18

Змістовний модуль №3. Елементарні аналітичні функції 22

3.1. Лінійна функція. 22

3.2. Дробово-лінійна функція. 23

3.3. Степенева функція. Поверхня Рімана. 26

3.4. Функція Жуковского. 28

3.5. Показникова функція комплексної змінної 30

3.6. Тригонометричні функції 31

3.7. Логарифмічна функція. Точка розгалуження. 33

3.8. Радикал. Загальна степенева функція. 35

3.9. Обернені тригонометричні функції 36

Змістовний модуль №4. Інтеграл функції комплексної змінної 37

4.1. Інтеграл від функції комплексної зміної по кусочно-гладкому контуру. 37

4.2. Теорема Коші 39

4.3. Невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбница. 40

Змістовний модуль № 5. Інтегральна формула Коші та її наслідки. 42

5.1. Формула Коші. Принцип максимума модуля. 42

5.2. Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри. 43

5.3. Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду 44

5.4. Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдиності 45

5.5. Аналітичне продовження. Елементарні функції як аналітичні продовження 46

Змістовний модуль № 6. Ізольовані особливі точки аналітичних функцій 48

6.1. Розкладання аналітичної функції в ряд Лорана. 48

6.2. Класифікація ізольованих особливих точок. Нескінченно віддалена особлива точка. Критерій особливої точки, яка усувається. 49

6.3. Критерій полюса. 50

6.4. Теорема Сохоцького-Вейєрштрасса. 51

6.5. Раціональні і міроморфні функції 52

Змістовний модуль № 7. Лишки та їх застосування. 53

7.1. Означення ЛишкА. Обчислення лишків. 53

7.2. Основна теорема теорії лишків. 54

7.3. Застосування теореми лишків до обчислення визначених інтегралів. 55

Контрольні роботи. 58

Контрольна робота №1 (денна форма навчання) 58

Контрольна робота №2 (денна форма навчання) 72

Контрольна робота (заочна форма навчання) 88

Зразки розв'язування задач. 94

Література. 105

 

 

 

Змістовний модуль №1. Комплексні числа та їх геометричне представлення

Приклад 1.

Обчислити .

Розв’язання. , ,

.

, .

,

,

,

, .

Вправи

1. Виконати дії:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

2. Знайти модуль і аргумент та представити в тригонометричній формі:

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) .

3. Обчисліть:

12) ; 13) ; 14) ; 15) .

4. Визначте геометричний зміст:

16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) .

Вправи

Дослідити збіжність рядів. Знайти область збіжності.

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

 

 

Приклад 1.

. Знайти образ лінії .

Розв’язання.

 

;

при , , .

Тоді або і підставляючи в отримаємо – парабола. Таким чином пряма переходить при відображенні в параболу .

Приклад 2. Знайти .

Розв’язання. .

Вправи

1. , , –? 2. . Знайти образ . 3. . Знайти образ . 4. . Знайти образ . 5. . Знайти образ . 6. .

7. . 8. . 9. . 10. .

Приклад 2.

. Знайти , якщо вона диференційована.

Розв’язання

, , . Оскільки , , то , . З останніх рівностей отримаємо, що

, .

Вправи

Показати, що функції диференційовані

1. .

2. ,

3. ,

Довести, що функції не диференційовані.

4. .

5. .

6. Знайти , , , при яких буде аналітичною.

Знайти аналітичну функцію .

7. , .

8. , .

9. .

10. При якому – аналітична?

 

Вправи

Знайти коефіцієнт розтягнення і кут повороту при заданих відображеннях в заданих точках

1. ;

2. ;

3. . Знайти , в яких коефіцієнт розтягнення дорівнює 1.

Яка частина комплексної площини розтягується, а яка стискається (вправи 4, 5, 6).

4. ;

5. ;

6. ;

7. . Знайти , в яких кут повороту дорівнює нулю.

 

Вправи

Знайти точки, в яких відображення конформне (І-го роду).

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Чи конформні відображення у нескінченно віддаленій точці

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Покажіть, що відображення здійснюють конформне відображення ІІ-го роду

9) ;

10) , задовольняє теоремі.

 

 

Лінійна функція

Означення1. Функція виду (a≠ 0) називається лінійною.

Функція визначена та однозначна для будь-якого z та оскільки z , то вона здійснює конформне відображення площини z на площину .

При цьому відображенні у всіх точках z дотична до довільної кривої, яка проходить через z, повертається на один і той самий кут і розтягує площину z у всіх точках на .

Якщо a =1, то , і розтягування та поворот відсутні, тобто функція зміщує площину на вектор .

Якщо a 1, то можна представити , де , тобто кожен вектор (який виходить з ) повертаючись на та розтягує у разів переходе у вектор .

Таким чином (), повертає площину z на кут та розтягує у разів відносно точки .

Приклад1. .

, .

Площина z повертається на кут та розтягується у разів відносно точки –2.

Вправи

Знайти лінійні відображення:

1. яке відображує трикутник з вершинами 0,1, і на подібний трикутник 0,2, 1+ і.

2. з нерухомою точкою 1+2 і, яке переводе точку і у b-i.

3. яке переводе верхню півплощину на себе.

4. яке переводе верхню півплощину на нижню півплощину.

5. яке переводе верхню півплощину на праву півплощину.

6. яке переводе праву півплощину на себе.

7. яке переводе праву півплощину на ліву.

8. яке переводе смугу 0< x <1 на себе.

9. яке переводе смугу 2< y <1 на себе.

10. яке переводе смугу, яка обмежена прямими y=x, y=x –1 на себе.

 

Дробово-лінійна функція

 

Означення2. Функція (c≠0) називається дробово-лінійною.

Для дробово-лінійна функція має похідну та якщо (випадок, коли нецікавий, бо тоді ), то при та відображення здійснює конформне відображення усіх z ().

Оскільки , , то довизначивши , отримаємо, що переводе розширену комплексну площину z на розширену площину .

З знаходимо, що – обернена функція до , причому , тобто обернена функція до – дробово-лінійна та є однолистим відображенням розширеної площини z на розширену площину . Враховуючи все, що було сказано вище, можна зробити висновок, що – конформне відображення розширеної площини z ()на розширену площину .

Залишається розглянути – чи конформне відображення у точках ?

Із визначення конформності відображення у нескінченно віддаленій точці, треба розглянути конформність відображення у точці z =0, та існує, тобто – конформне відображення у z =0, значить у точці здійснює конформне відображення.

Нехай . Розглянемо функцію , обернену до вихідної . Оскільки дробово-лінійна функція – конформне відображення, то відображення зберігає кути та постійність розтягувань при відображенні у , але тоді і в обернену сторону відображення (обернена до ) зберігає кути та постійність розтягувань при відображенні у .

Таким чином, можна зробити висновок: дробово-лінійна функція здійснює конформне відображення розширеної комплексної площини z на розширену комплексну площину .

Теорема1. Заданням відповідності трьом різним точкам розширеної площини z трьох різних точок розширеної площини дробово-лінійна функція визначена однозначно.

Тобто, якщо , , , то має вид

: = : .

 

Теорема2 (колова властивість). Дробово-лінійна функція переводе кола та прямі на площині z у кола та прямі на площині .

Доведення теореми див. [1, с. 162-163].

 

Приклад1. Знайти функцію, яка конформно відображає коло на верхню півплощину .

Розв’язання.

Встановимо відповідність:

(границя повинна переходити в границю) та повинно зберігатися направлення обходу області тоді, оскільки дробово-лінійна функція буде мати вид = : або .

Знайдемо . Відмітимо, що , тобто переводе коло на півплощину .

Вправи

У що відображаються наступні області?

1. квадрат ;

2.півколо .

Знайти дробово-лінійне відображення, яке переводе точки – 1,i,i+1 у точки

3. 0, 2i, 1– i;

4. i, ,1.

Знайти дробово-лінійне відображення, яке переводе точки - 1, у точки

5. i, 1, 1+i;

6.

Знайти загальний вид дробово-лінійного відображення, яке переводе:

7. верхню півплощину на себе;

8. верхню півплощину на нижню;

9. верхню півплощину на одиничне коло;

10. верхню півплощину на праву півплощину.

 

Вправи

1) відобразити кут на верхню півплощину;

2) кут на праву півплощину;

3) кут на нижню півплощину;

4) кут на ліву півплощину;

5) кут на коло ;

6) кут на коло .

Знайти образ областей при відображенні:

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) ,

 

Функція Жуковского

 

Означення4. Функція виду називається функцією Жуковського та відображає площину z на площину .

Якщо довизначити , то отримаємо відображення розширеної площини z на розширену площину . Оскільки , то виконує відображення, яке зберігає кути та постійність розтягувань у всіх точках, крім .

Теорема4. Функція виконує конформне відображення середини одиничного кола на зовнішність відрізку [-1;1] площини . При цьому відображається на нижню півплощину , на верхню півплощину .

Теорема5. Функція конформно відображає область на зовнішність[-1;1] площини . При цьому відображається на верхню півплощину , , на нижню півплощину .

Доведення теореми див.[2, 130-133].

Візьмемо дві площини з розрізами по відрізку [-1;1] та „склеїмо” нижній берег розриву з верхнім берегом розрізу , а верхній берег розрізу - з нижнім берегом розрізу . Отримана дволиста поверхня - поверхня Римана для функції Жуковського, на яку вона конформно відображає розширену площину z.

Приклад1. Відобразити півколо на праву півплощину.

Розв’язання: відображає півколо на нижню півплощину . Тому відображення буде шуканим, тобто відображати півколо на праву півплощину.

Вправи

Знайти область, у які функція Жуковського відображає:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Відобразити вказані області на верхню півплощину:

6) з розрізом по [ ;1];

7) з розрізом по [–1;0], [а;1] ;

8) з розрізами [–а;1] та [1; ), a>1;

9) з розрізом [0; ] ;

10) з розрізом [ ; i], .

 

Властивості

1) ;

2) ;

3) , тобто – період показникової функції.

Теорема6. Показникова функція взаємно-однозначно та конформно відображає смугу шириною , паралельну дійсної осі, на кут розчину з вершиною в початку координат.

Наслідок. Смуга конформно відображається на площину з вирізаною додатною частиною дійсної осі. Причому, нижня границя переходе у верхній берег розрізу, а – в нижній берег розрізу.

Доведення див. [3, с. 91].

Поверхня Рімана, у яку конформно відображається розширена площина z будується наступним чином: потрібно взяти нескінченно багато площин , у яких відтворений розріз по додатній частині дійсної осі. Розміщуючи площини одна під іншою та нижній берег розрізу склеїмо з верхнім берегом розрізу і т. д. Та склеїмо площини у нескінченно віддаленій точці. Отримана нескінченно-листа поверхня – поверхня Римана.

Приклад1. Відобразити за допомогою функції .

Розв’язання: () тоді , тобто , . Тоді та – спіраль.

Вправи

Вияснити, у що перетворюється за допомогою :

1) пряма ;

2) смуга ;

3) півсмуга ;

4) півсмуга ;

5) прямокутник ;

Знайти відображення, яке переводе:

6) смугу на площину;

7) смугу у праву півплощину;

8) смугу у ліву півплощину;

9) смугу у площину;

10) смугу у нижню півплощину.

 

Тригонометричні функції

 

Означення6. Функції , , які визначені на площині z, називаються косинусом та синусом від комплексного z.

Властивості:

1) – парна, - непарна функції;

2) , періодичні з періодом ;

3) , – необмежені у уявному направленні, тобто ;

4) всі тригонометричні формули виконуються для , ;

5) .

Оскільки, то достатньо розглянути функцію .

Теорема7. Функція смуги конформно відображує на площину з розрізами по променям [- ;-1] та [1; ]. Причому, якщо k – парне, то верхня півсмуга відображається у нижню півплощину та півпрямі , () відображаються у нижній берег розрізів відповідно по променям [1; ], [– ;–1]; нижня півсмуга відображається у верхню півплощину , при цьому , відображається у верхній берег розрізів по променям [1; ], [- ;-1] відповідно. При k непарному внутрішність нижньої півсмуги відображається у нижню півплощину та , () відображається у нижній берег розрізів по променям відповідно [– ;–1] та [1; ]; верхня півсмуга відображається на верхню півплощину та , відображається на верхній берег розрізів відповідно[– ;–1], [1; ].

Доведення тереми див. [2, с.160].

Поверхня Римана , на яку конформно відображається вся площина z, отримується з нескінченого числа площин , в кожній з яких проведено розріз по променям [1; ], [– ;–1]. Склеюючи площини по відповідним берегам розрізів[1; ], [- ;-1], отримуємо потрібну поверхню.

Приклад1. З’ясувати, у що перетворюється пряма функцією .

Розв’язання:

.

Тоді u= ,

або , .

.

Тобто відображає пряму у гіперболу .

Вправи

З’ясувати, у що перетворюється при відображенні

1)

2) ;

3) смуга ;

4) півсмуга ;

5) прямокутник ; ;

6) півсмуга ;

7) півсмуга ;

8) півсмуга ;

9) смуга ;

10) півсмуга .

 

Вправи

Знайти значення:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) )

У що перетворюються при відображенні

6) ;

7) ;

8) ;

9) сектор , ;

10) спіраль .

 

Вправи

Обчислити:

1)