Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Степенева функція. Поверхня Рімана
Означення3. Функція називається степеневою. Визначена та однозначна на всій розширеній площині z, z= ставимо у відповідність . Оскільки та для будь-якого , то у всіх зберігає кути та постійність розтягувань. При кути не зберігаються. Дійсно, якщо такі, що , , то , тобто кут між та дорівнює та збільшується у n разів згідно з кутом між . Аналогічно з z= . Теорема3. Сектори взаємно однозначно, а значить і конформно відображаються на площину з вирізаним променем . Доведення [1,2,3]. Причому границя області відображається у верхній берег розрізу , а границя у нижній берег розрізу, . Розіб’ємо всю площину z на сектори , тоді сектору взаємно-однозначно ставить у відповідність площину з розрізом по променю . Позначимо - вказану площину відповідну , таких площин буде . Для взаємно-однозначного образу всієї розширеної площини z візьмемо n „листків” площини та розмістимо ці „листки” один над одним так, щоб точки з однаковими координатами були розміщені один над другим. „Склеїмо” розміщені один над одним „листки” по тим берегам розрізу , які є образами одного і того ж променя , який є загальною границею двох сусідніх секторів. Тобто, нижній берег розрізу з’єднаємо з верхнім берегом розрізу , вільний нижній берег розрізу – з верхнім берегом розрізу і так далі та, нарешті, нижній берег розрізу листка та верхній берег розрізу (останнє з’єднання потрібно розуміти у змісті ототожнення точок з однаковими абсцисами відповідних берегів розрізів та ). Крім того, у всіх площин „склеїмо” точки z=0 та z= . Отриману n –„листкову” замкнену поверхню називають поверхнею Римана значень функції . Із всього вище сказаного можна зробити висновок: функція здійснює взаємно-однозначне відображення розширеної площини z на поверхню Римана, яке є конформним у всіх точках площини z, крім z=0 та z= . Приклад1. Відобразити кут на верхню півплощину. Розв’язання. відображає вказаний кут на нижню півплощину за властивостями степеневої функції. Тепер нижню півплощину потрібно відобразити у верхню. Це можна зробити за допомогою повороту на або радіан, тобто шукана функція має вид . Вправи 1) відобразити кут на верхню півплощину; 2) кут на праву півплощину; 3) кут на нижню півплощину;
4) кут на ліву півплощину; 5) кут на коло ; 6) кут на коло . Знайти образ областей при відображенні: 7) , ; 8) , ; 9) , ; 10) ,
Функція Жуковского
Означення4. Функція виду називається функцією Жуковського та відображає площину z на площину . Якщо довизначити , то отримаємо відображення розширеної площини z на розширену площину . Оскільки , то виконує відображення, яке зберігає кути та постійність розтягувань у всіх точках, крім . Теорема4. Функція виконує конформне відображення середини одиничного кола на зовнішність відрізку [-1;1] площини . При цьому відображається на нижню півплощину , на верхню півплощину . Теорема5. Функція конформно відображає область на зовнішність[-1;1] площини . При цьому відображається на верхню півплощину , , на нижню півплощину . Доведення теореми див.[2, 130-133]. Візьмемо дві площини з розрізами по відрізку [-1;1] та „склеїмо” нижній берег розриву з верхнім берегом розрізу , а верхній берег розрізу - з нижнім берегом розрізу . Отримана дволиста поверхня - поверхня Римана для функції Жуковського, на яку вона конформно відображає розширену площину z. Приклад1. Відобразити півколо на праву півплощину. Розв’язання: відображає півколо на нижню півплощину . Тому відображення буде шуканим, тобто відображати півколо на праву півплощину. Вправи Знайти область, у які функція Жуковського відображає: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . Відобразити вказані області на верхню півплощину: 6) з розрізом по [ ;1]; 7) з розрізом по [–1;0], [а;1] ; 8) з розрізами [–а;1] та [1; ), a>1; 9) з розрізом [0; ] ; 10) з розрізом [ ; i], .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-19; просмотров: 266; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.251.21 (0.011 с.) |