Змістовний модуль №3. Елементарні аналітичні функції

Лінійна функція

Означення1. Функція виду (a≠ 0) називається лінійною.

Функція визначена та однозначна для будь-якого z та оскільки z , то вона здійснює конформне відображення площини z на площину .

При цьому відображенні у всіх точках z дотична до довільної кривої, яка проходить через z, повертається на один і той самий кут і розтягує площину z у всіх точках на .

Якщо a =1, то , і розтягування та поворот відсутні, тобто функція зміщує площину на вектор .

Якщо a 1, то можна представити , де , тобто кожен вектор (який виходить з ) повертаючись на та розтягує у разів переходе у вектор .

Таким чином (), повертає площину z на кут та розтягує у разів відносно точки .

Приклад1. .

, .

Площина z повертається на кут та розтягується у разів відносно точки –2.

Вправи

Знайти лінійні відображення:

1. яке відображує трикутник з вершинами 0,1, і на подібний трикутник 0,2, 1+ і.

2. з нерухомою точкою 1+2 і, яке переводе точку і у b-i.

3. яке переводе верхню півплощину на себе.

4. яке переводе верхню півплощину на нижню півплощину.

5. яке переводе верхню півплощину на праву півплощину.

6. яке переводе праву півплощину на себе.

7. яке переводе праву півплощину на ліву.

8. яке переводе смугу 0< x <1 на себе.

9. яке переводе смугу 2< y <1 на себе.

10. яке переводе смугу, яка обмежена прямими y=x, y=x –1 на себе.

 

Дробово-лінійна функція

 

Означення2. Функція (c≠0) називається дробово-лінійною.

Для дробово-лінійна функція має похідну та якщо (випадок, коли нецікавий, бо тоді ), то при та відображення здійснює конформне відображення усіх z ().

Оскільки , , то довизначивши , отримаємо, що переводе розширену комплексну площину z на розширену площину .

З знаходимо, що – обернена функція до , причому , тобто обернена функція до – дробово-лінійна та є однолистим відображенням розширеної площини z на розширену площину . Враховуючи все, що було сказано вище, можна зробити висновок, що – конформне відображення розширеної площини z ()на розширену площину .

Залишається розглянути – чи конформне відображення у точках ?

Із визначення конформності відображення у нескінченно віддаленій точці, треба розглянути конформність відображення у точці z =0, та існує, тобто – конформне відображення у z =0, значить у точці здійснює конформне відображення.

Нехай . Розглянемо функцію , обернену до вихідної . Оскільки дробово-лінійна функція – конформне відображення, то відображення зберігає кути та постійність розтягувань при відображенні у , але тоді і в обернену сторону відображення (обернена до ) зберігає кути та постійність розтягувань при відображенні у .

Таким чином, можна зробити висновок: дробово-лінійна функція здійснює конформне відображення розширеної комплексної площини z на розширену комплексну площину .

Теорема1. Заданням відповідності трьом різним точкам розширеної площини z трьох різних точок розширеної площини дробово-лінійна функція визначена однозначно.

Тобто, якщо , , , то має вид

: = : .

 

Теорема2 (колова властивість). Дробово-лінійна функція переводе кола та прямі на площині z у кола та прямі на площині .

Доведення теореми див. [1, с. 162-163].

 

Приклад1. Знайти функцію, яка конформно відображає коло на верхню півплощину .

Розв’язання.

Встановимо відповідність:

(границя повинна переходити в границю) та повинно зберігатися направлення обходу області тоді, оскільки дробово-лінійна функція буде мати вид = : або .

Знайдемо . Відмітимо, що , тобто переводе коло на півплощину .

Вправи

У що відображаються наступні області?

1. квадрат ;

2.півколо .

Знайти дробово-лінійне відображення, яке переводе точки – 1,i,i+1 у точки

3. 0, 2i, 1– i;

4. i, ,1.

Знайти дробово-лінійне відображення, яке переводе точки - 1, у точки

5. i, 1, 1+i;

6.

Знайти загальний вид дробово-лінійного відображення, яке переводе:

7. верхню півплощину на себе;

8. верхню півплощину на нижню;

9. верхню півплощину на одиничне коло;

10. верхню півплощину на праву півплощину.