Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості
Нехай задана в області . Означення6. Функція має в точці похідну, якщо існує скінчена границя . Означення7. Функція називається диференційованою в точці , якщо приріст функції в точці має вигляд , де , нескінченно мала більш високого порядку ніж . Як і у випадку дійсної функції диференційованість в точці еквівалентна існуванню скінченої похідної функції в (див. [2]). Крім того, з диференційованості функції в точці слідує її неперервність в цій точці. Безпосередньо із означення похідної слідує, що всі властивості похідної функції дійсної змінної виконуються і в нашому випадку. Наприклад, якщо , тоді . Якщо . Похідну знайдемо за означенням , , . тобто границя не існує, а отже не має похідної в точці . У випадку, коли функція задана в термінах , , тобто , то диференційованість її, як умова еквівалентна існуванню похідної по , перевірити важко. В цьому випадку корисна наступна теорема. Теорема2. Для того, щоб функція буда диференційованою в точці , необхідно і достатньо, щоб функції , були диференційованими в точці як функції двох дійсних змінних і та виконувалися умови Коші-Римана: , . Доведення див. [1, с. 31] або [2, с. 85], [3, с. 33]. При цьому виконується рівність . Означення8. Якщо функція диференційована у всіх точках області , то називається аналітичною в . Приклад 1. Дослідити на диференційованість . Розв’язання. , , , , , тобто . Отже, не диференційована в . Приклад 2. . Знайти , якщо вона диференційована. Розв’язання , , . Оскільки , , то , . З останніх рівностей отримаємо, що , . Вправи Показати, що функції диференційовані 1. . 2. , 3. , Довести, що функції не диференційовані. 4. . 5. . 6. Знайти , , , при яких буде аналітичною. Знайти аналітичну функцію . 7. , . 8. , . 9. . 10. При якому – аналітична?
Геометричний зміст модуля і аргументи похідної комплексної функції
Нехай диференційована в точці , тоді , де , – відстані між , на площині і їх образами , на площині . Тоді – коефіцієнт розтягу вектора при відображенні площини на площину . Геометричний зміст модуля похідної: – коефіцієнт розтягу в точці при відображенні площини на площину . Нехай відображає площину на площину і диференційована в точці . Розглянемо криву і образ при відображенні позначимо .
Якщо , то , – січна , – січна , – кут нахилу січної до , – кут нахилу січної до . При січні , прямують до дотичних в точках , до кривих і відповідно, а , до кутів і між відповідними дотичними і осями , відповідно. Тоді , тобто . Звідси – кут повороту дотичної до кривої в точці площини при переході до її образу і к точці . Приклад1. – відображає площину на площину . При цьому , тобто і , тобто при відображенні площина розтягується в раз і повертається на кут – . Вправи Знайти коефіцієнт розтягнення і кут повороту при заданих відображеннях в заданих точках 1. ; 2. ; 3. . Знайти , в яких коефіцієнт розтягнення дорівнює 1. Яка частина комплексної площини розтягується, а яка стискається (вправи 4, 5, 6). 4. ; 5. ; 6. ; 7. . Знайти , в яких кут повороту дорівнює нулю.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-19; просмотров: 289; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.212.87.137 (0.017 с.) |