Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Перетворення Лежандра. Нерівність юнга. Двоїсті за Юнгом функції. Теорема Донкіна. Теореми Лагранжа і Кастільяно
Перетворення Лежандра – допоміжний математичний прийом, який полягає у переході від функцій на лінійному просторі до функцій на спряженому просторі. Воно аналогічно проективній подвійності і тангенціальним координатам у алгебраїчній геометрії або побудові спряженого банахова простору в математичному аналізі. Нехай опукла, . Перетворення Лежандра функції називається нова функція нового змінного, яка будується наступним чином:
Дві функції , які являють собою перетворення Лежандра одна до одної, називаються двоїстими за Юнгом. За визначенням перетворення Лежандра , звідки витікає нерівність Юнга . Теорема. Перетворення Лежандра інволютивне, тобто його квадрат дорівнює тотожному перетворенню: якщо при перетворенні Лежандра переходить в , то перетворення Лежандра від буде знову . Доведення. Щоб здійснити перетворення Лежандра функції змінного , миповинні, за визначенням, розглянути нове незалежне змінне (позначимо його через , скласти функцію , знайти точку , в якій має максимум: , тобто , і тоді перетворення Лежандра буде функція від , яка дорівнює Доведемо, що З цього приводу відмітимо, що має просте геометричне розуміння: це координата дотичної до графіка , що має нахил , при абсцисі (див. рис. нижче). Дійсно, при фіксованому функція є лінійна функція від , при цьому , і при маємо для визначення . Зафіксуємо тепер і будемо змінювати . Тоді значення будуть ординатами точок перетину прямої з дотичними до графіка , що мають різний нахил . Із опуклості графіка витікає, що всі ці дотичні лежать нижче кривої, а тому максимум при фіксованому дорівнює (і досягається при ), щ.м.б.д. Слідство. Нехай дано сімейство прямих . Тоді обгинаючи має рівняння , де - перетворення Лежандра функції . Приклад 1 , , , , , . Стосовно цього прикладу зазначимо, що рівність можлива лише за умови . По усіх інших значеннях і має місце нерівність Юнга . В цьому легко пересвідчитись з рисунка. Площа трикутників і має min при . В усіх інших випадках , що очевидно також, якщо записати вираз , який завжди більше або дорівнює нулеві. Причому нулю він дорівнює при . Функції і , які пов’язані між собою перетворенням Лежандра є двоїстими за Юнгом.
Теорема. Значення квадратичної форми і її перетворення Лежандра в відповідних точках співпадають: = . Приклад 2 Для форми це відома властивість дотичної до параболи. Для форми маємо і . Доведення. З теореми Ейлера про однорідні функції . Отже, , щ.м.б.д. Випадок багатьох змінних. Нехай тепер опукла функція векторного змінного (тобто квадратична форма позитивно визначена). Тоді перетворення Лежандра називається функція векторного змінного , що визначена аналогічними попередніми рівностями , . Усі попередні міркування, в тому числі нерівність Юнга, без змін переносяться на цей випадок. Отже, функції і , які пов’язані між собою перетворенням Лежандра є двоїстими за Юнгом. Аналогічні висновки можна зробити і при нелінійній залежності .
Приклад 3 Робота зовнішніх сил При цьому
Основна інтегральна формула (формула Гріна): Тоді отримаємо відомий вираз для теореми Клапейрона. При (див. рис.) При
Функції потенціальної енергії пружної деформації і додаткової енергії є двоїстими за Юнгом і пов’язані між собою перетворенням Лежандра. Умови екстремуму дають відповідно теореми:
Другі похідні від потенціальної енергії пружної деформації по переміщенню і від додаткової потенціальної енергії по відповідній дорівнюють відповідно коефіцієнтам матриці жорсткості та матриці піддатливості. Теорема Донкіна Нехай задана деяка функція , гесіан якої відмінний від нуля: (1) і нехай існує перетворення змінних, викликане функцією : . (2) Тоді існує перетворення, зворотне до перетворення (2), яке теж породжено деякою функцією : (3) при цьому функція Y, що породжує функцію зворотного перетворення, пов’язана з функцією Х, що породжує пряме перетворення, формулою:
. (4) Якщо функція включає параметри , тобто то Y теж включає ці параметри, тобто і . (5) Доведення. Гесіан функції X співпадає з якобіаном правих частин у рівнянні (2). Тому умова (1) показує, що з рівняння (2) показати змінні через : . Нехай функція виражена формулою (4), в якій змінні замінені виразами (15). Тоді . Але згідно рівняння (2), два доданки, які знаходяться в правій частині цього рівняння, взаємознищуються і отже має місце формула (3). Нехай тепер X включає окрім змінних ще і параметри . Тоді ці параметри є в прямому перетворенні(2), а значить і в зворотному: . Функція Y визначається рівністю (13), де замінені на , тому . Теорема Донкіна доведена. Приклад 4 Центральний розтяг стержня силою Р.
можна отримати рівняння рівноваги і сумісності деформацій . Теорема Донкіна Якщо дві двоїстості за Юнгом функції напружень і залежать від одного і того ж параметра або групи параметрів, який не є активними, тобто не приймають участі у перетворенні Лежандра (), то має місце залежність:
В будівельній механіці функції потенціальної енергії пружної деформації і додатковою потенціальної енергії є позитивно визначеними квадратичними формами. Вони є двоїстими за Юнгом функціями і пов’язані між собою перетворенням Лежандра. Перетворення Лежандра є частинним випадком нерівності Юнга-Фенхеля і за фізичним змістом являє собою рівність робіт внутрішніх і зовнішніх сил, тобто відповідає теоремі Клапейрона. Екстремуми двоїстих функцій пружної деформації і додаткової енергії дають теореми Лагранжа і Кастільяно, та призводять до систем лінійних алгебраїчних рівнянь матриці яких (матриці жорсткості і матриці піддатливості) є відповідно матрицями Гессе або матрицями других похідних відповідно від потенціальної енергії пружної деформації (матриця жорсткості) і додаткової потенціальної енергії (матриця піддатливості). Вони (матриці) є позитивно визначеними і задовольняють критеріям Сильвестра, тобто усі їх головні мінори є позитивно визначені. Вони є взаємно оберненими.
Лекція 8
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-22; просмотров: 220; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.220.160.216 (0.036 с.) |