Робота зовнішніх сил. Теорема Клапейрона. Принципи Лагранжа і Кастільяно.

Рис. 5.1

Робота зовнішніх сил з урахуванням рівняння рівноваги дорівнює

Перетворимо інтеграл у правій частині за допомогою формули інтегрування по частинах

,

,

, ,

 

Тоді основна інтегральна формула (формула Гріна) має вигляд:

Звідси

,

Для лінійної пружної системи (рис. 5.2)

.

З урахуванням прийнятих позначень граничних умов

, .

Остаточно отримаємо

(♦)

за умов:

,

Вираз (♦) являє собою відому теорему Клапейрона: для дійсного стану лінійно пружної системи, у якому задовольняються рівняння рівноваги, сумісності деформацій, фізичної сторони задачі та граничні умови, подвійна потенціальна енергія пружної деформації доравнює роботі зовнішніх сил.

Ураховуючи, що робота внутрішніх сил ототожнюється з потенціальною енергією пружної деформації і за законом збереження енергії дорівнює роботі зовнішніх сил згідно з теоремою Клапейрона: при статичному навантаженні лінійно-пружної системи, яка знаходиться у дійсному стані, робота зовнішніх сил обчислюється як половина добутку остаточного значення узагальненої силина остаточне значення відповідного узагальненого переміщення. Якщо зовнішнє навантаження є кінематичним, тобто задається за допомогою узагальнених переміщень, то робота внутрішніх сил ототожнюється із додатковою потенціальною енергією, яка для лінійно-пружної системи дорівнює потенціальній енергії пружної деформації.

Рис. 5.3

Принципи Лагранжа і Кастільяно

Основна інтегральна формула (формула Гріна)

дозволяє переносити диференціальний оператор з однієї функції на іншу.

Витікає залежність, яка по суті являє собою рівність робіт внутрішніх і зовнішніх сил

або

. (♦♦)

Оскільки (див. рис. 5.4)

і, відповідно,

.

Для лінійних задач .

Тоді отримаємо формулу Клапейрона

, (♦♦♦)

де робота зовнішніх сил на границях записана з урахуванням граничних умов

і .

Оскільки при отриманні залежностей (♦♦), (♦♦♦) використані умови рівноваги , сумісності деформацій , фізичної сторони задачі , а також наведені вище граничні умови, можна стверджувати, що функції і , які входять до них, є дійсними.

Тепер у залежності

,

де, відповідно, підкреслені члени, які залежать від і , будемо варіювати

(ліворуч)	(праворуч)
Урахуємо, що	Урахуємо, що
а підстановка першого члену дає тотожність. Остаточно отримаємо таке варіаційне рівняння	а підстановка першого члену дає тотожність. Остаточно отримаємо таке варіаційне рівняння
Воно має назву варіаційного рівняння Лагранжа	Воно має назву варіаційного рівняння Кастільяно
Відповідний функціонал має назву функціонала Лагранжа (залежить від функції )	Відповідний функціонал має назву функціонала Кастільяно[7] (залежить від функції )
	.

Наведені варіаційні рівняння за змістом відображають принцип Лагранжа і принцип Кастільяно. Тобто всі і є дійсними, оскільки вони задовольняють рівнянням рівноваги, сумісності деформацій, граничним умовам.

Причому маємо такі додаткові умови. 1. Граничні умови: .	Причому маємо такі додаткові умови. 1. Граничні умови:
2. Рівняння сумісності деформацій: , а також .	2. Рівняння рівноваги:   , а також .
Принцип Лагранжа	Принцип Кастільяно
З усіх можливих систем переміщень дійсні переміщення надають функціоналу Лагранжа стаціонарне (мінімальне) значення.	З усіх можливих систем зусиль дійсні зусилля М надають функ-ціоналу Кастільяно стаціонарне (максимальне) значення.
Під можливими переміщеннями розуміють переміщення, які задовольняють умовам в’язей	Під можливими зусиллями розуміють зусилля, які задоволь-няють рівнянням статики і статич- ним граничним умовам
(кінематичним граничним умовам), а також умовам сумісності деформацій ,	,

Оскільки функціонал Лагранжа залежить від другої похідної, маємо

 

У нашому випадку

Тоді варіаційне рівняння для функціонала Лагранжа має вигляд

У загальному випадку при отримаємо

Лекція 6