ТОП 10:

Варіаційні рівняння для функціоналів Лагранжа і Кастільяно



 

Розглянемо першу варіацію функціонала Кастільяно, який запишемо з урахуванням залежності

.

Будемо вважати для спрощення

Тоді

.

Варіаційне рівняння для функціонала Кастільяно

у випадку коли

.

У загальному випадку

- змінюються переміщення - (принцип Лагранжа),

- змінюються зусилля - (принцип Кастільяно).

Зазначимо, що наведені варіаційні рівняння Лагранжа і Кастільяно можуть бути отримані і безпосередньо із залежностей (____) підстановкою відповідно і .

Наприклад, підставляючи , отримаємо вираз, який залежить від першої варіації

.

Перший інтеграл за формулою Гріна дорівнює

.

Ураховуючи, що і , остаточно одержимо

що являє собою _____.

Аналогічно, підставляючи , отримаємо вираз, який залежить від першої варіації

.

Перший інтеграл

.

Другий інтеграл за формулою Гріна дорівнює

.

і остаточно одержимо

,

,

що являє собою розгорнутий вигляд варіаційного рівняння Кастільяно .

Розглянемо варіаційні рівняння Лагранжа і Кастільяно при однорідних граничних умовах

Для різних граничних умов отримаємо (див. табл.)

Таблиця

 

 
Задані зовні гран. умови w, w wa=0 wb=0   w’a=0 w’b=0 wa=0 wb=0   w’a=0 ----- wa=0 -----   w’a=0 ----- wa=0 wb=0   ----- ----- Природ. граничні умови Лаграрж
Природ. граничні умови ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- Mb=0 ----- M’b=0 ----- Mb=0 ----- ----- Ma=0 Mb=0 Задані зовні гран. умови w, w Кастільяно
 

 

Таким чином, реалізація принципу Лагранжа дозволяє автоматично отримати рівняння рівноваги, як рівняння Ейлера відповідної варіаційної задачі , а також граничні умови, яких не вистачало, у вигляді так званих природних граничних умов. У таблиці це показано для балок з різними однорідними граничними умовами . Таким чином, реалізація принципу Кастільяно дозволяє автоматично отримати рівняння сумісності деформацій, як рівняння Ейлера відповідної варіаційної задачі , а також граничні умови, яких не вистачало, у вигляді так званих природних граничних умов (див. таблицю, при ).  
Варіаційне рівняння Лагранжа являє собою широко відомий принцип можливих переміщень, а саме: якщо сума робіт усіх зусиль на будь-яких можливих. переміщеннях дорівнює 0, то система знаходиться в рівновазі. Варіаційне рівняння Кастільяно являє собою широко відомий принцип можливих зусиль, а саме: якщо сума робіт усіх зусиль при будь-яких змінах напруженого стану дорівнює 0, то виконуються умови сумісності деформацій.


Лекція 7







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-22; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.15.246 (0.015 с.)