Основні поняття варіаційного числення. Функціонал і варіація. Типи задач варіаційного числення. Абсолютний і умовний екстремум. Екстремум функції і екстремум функціоналу

Конспект лекцій з курсу

„Варіаційні основи

будівельної механіки”

Київ-2011

ЗМІСТ

Лекція 1 Основні поняття варіаційного числення. Функціонал і варіація. Типи задач варіаційного числення. Абсолютний і умовний екстремум. Екстремум функції і екстремум функціоналу
Лекція 2 Рівняння Ейлера варіаційної задачі (1744 р.). Рівняння Ейлера-Пуассона. Приклади
Лекція 3 Основні залежності механіки стержнів. Рівняння статичної, геометричної і фізичної сторін задачі для стержня
Лекція 4 Робота внутрішніх сил. Потенціальна енергія пружної деформації. Додаткова потенціальна енергія. Теореми Дж. Гріна і Кастільяно
Лекція 5 Робота зовнішніх сил. Теорема Клапейрона. Принципи Лагранжа і Кастільяно
Лекція 6 Варіаційні рівняння для функціоналів Лагранжа і Кастільяно
Лекція 7 Перетворення Лежандра. Нерівність Юнга. Двоїсті за Юнгом функції. Теорема Донкіна
Лекція 8 Приклади реалізації принципів Лагранжа і Кастільяно
Лекція 9 Прямі методи варіаційного числення. Поняття про прямі методи, принципову схему методу Рітца, узагальненого методу Бубнова-Гальоркіна, методу Бубнова-Гальоркіна, методу Треффца
Лекція 10 Канонічні рівняння методу Рітца для функціоналу Лагранжа. Приклад
Лекція 11 Канонічні рівняння методу Бубнова-Гальоркіна для функціоналу Лагранжа. Приклад.
Лекція 12 Рівняння методу Треффца. Приклад. Порівняння основних підходів
Лекція 13 Принцип двоїстості. Приклади
Лекція 14 Поняття про нелінійні задачі
Рекомендована література

Лекція 1. (2 пари)

Приклад 1

Знайти екстремум функціонала довжини дуги , ,

Рис. 2.2

Тобто екстремалями є прямі лінії, які визначають найкоротшу відстань між точками і .

Приклад 2

Знайти екстремум функціонала

.

Граничні умови

Рівняння Ейлера

Рис. 2.3

Реалізація граничних умов дає розвязок:

Таким чином екстремум функціоналу досягається на прямій . Причому на всьому відрізку [0,1].

Приклад 3

Задача про брахістохрону: визначити криву, що з’єднує задані точки А і В, по якій матеріальна точка переміститься із А у В за найкоротший час (тертям і опором середовища нехтуємо).

Розмістимо початок координат в точці А, вісь спрямуємо горизонтально, вісь − вертикально донизу. Швидкість руху матеріальної точки . Час, що витрачається на переміщення точки з положення в положення , визначається за формулою

, , .

Оскільки цей функціонал належить до найпростішого виду і його підінтегральна функція не містить явно , то рівняння Ейлера має перший інтеграл , або в даному випадку

.

Після спрощень матимемо або . Введемо параметр , вважаючи , і дістанемо

;

;

.

Отже, в параметричній формі рівняння шуканої лінії має вигляд

, .

Змінюючи параметр за допомогою підстановки і враховуючи, що , оскільки при маємо , дістанемо рівняння сімейства циклоїд у звичайній формі:

, ,

де − радіус круга, що котиться. Радіус визначається з умови проходження циклоїди через точку . Отже, брахістохроною є циклоїда.

Функціонали, які залежать від другої похідної. Рівняння Ейлера-Пуассона [6]

 

Функціонал

.

Варіаційне рівняння для цього функціонала має вигляд:

,

або

.

З урахуванням позначень частинних похідних

отримаємо

.

До другого і третього членів цього рівняння застосуємо процедуру перетворення по частинах

,

,

, , .

Аналогічно

Підсумовуючи підкреслені члени отримаємо:

.

Згідно з лемою Лежандра отримаємо

– рівняння Ейлера-Пуассона для функціоналу, який залежить від другої похідної.

Граничні умови

, ,

, .

По аналогії запишемо рівняння Ейлера-Пуассона для функціоналу, який залежить від n-ї похідної

.

Рівняння Ейлера-Пуассона мають порядок 2 ⁿ.

.

Граничні умови

,

Приклад 4

.

Граничні умови

,	,
,	.

Рівняння Ейлера-Пуассона

,

Диференціальне рівняння Ейлера є рівняння 4 порядку.

Загальний розв’язок:

,

.

Реалізуємо граничні умови

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

Екстремаль . Тобто функціонал досягає екстремуму на прямій . Причому , а на всьому відрізку [0,1] (див. рис.).

Рис. 2.4

Приклад 5 Граничні умови	Рис. 2.5
Тоді . Екстремаль . Причому , на всьому відрізку [0,1].

Приклад 6

Граничні умови	Рис. 2.6
Тоді , . Екстремаль , , , Точка перетину ; , ; (див. рис.).
Приклад 7 Граничні умови	Рис. 2.7
Тоді . Екстремаль , (екстремум), (точка перетину). Точка перетину ; ; (див. рис.).
Приклад 8 Граничні умови Рис. 2.8 Тоді . Екстремаль , . Екстремум при . Приклад 9 Граничні умови Рис. 2.9 Тоді . Екстремаль ; . ; Екстремум при . Точка перетину ; ; (див. рис.).

Надалі буде показано, що вихідний функціонал =0 являє собою функціонал Лагранжа для балки з відповідними кінематичними граничними умовами (приклади 4–9) і реалізація принципу Лагранжа призводить до відповідного рівняння Ейлера, розв’язок якого визначає лінію прогину балки.

Лекція 3

Основні залежності механіки стержнів.Рівняння статичної, геометричної і фізичної сторін задачі для стержня

1. Статична сторона задачі. Рівняння рівноваги

Розглянемо нескінченно малий елемент стержня.

Рис. 3.1

Інтегральні характеристики

, , .

Приріст кожного із зусиль визначається так:

.

Отримаємо рівняння рівноваги у вигляді:

1.

2.

3.

2. Геометрична сторона задачі. Зв'язок між деформаціями і переміщеннями

Рис. 3.2

Деформація - кривизна

береться «мінус»

.

Приклад

Рис. 3.3

Насправді, при так званих “великих переміщеннях (див. рис. 3.3) мають місце не тільки вертикальні, а і горизонтальні переміщення точок стержня. Але в елементарній лінійній теорії згину вважається, що і цей ефект не враховується.

3. Фізична сторона задачі. Закон Гука

, ,

де G – модуль зсуву, Е – модуль пружності (модуль Юнга).

(наприклад, для металу Е =2 10⁵ Мпа),

де µ- коефіцієнт Пуассона (залежність між поперечними і повздовжніми деформаціями), µ=0…0,5.

Найпростіший напружений стан – розтяг-стиснення (див. рис. 3.4)

Рис. 3.4

1) 2) 3) закон Гука*

Розрахував коефіцієнт k Томас Юнг в 1807 р.

.

Кулон у 1784 році отримав при скрученні стержня залежність

.

А.Навьє в 1826 році ввів поняття напруження і отримав

,

тобто через 150 років після оприлюднення закону Гука.

Далі Коші ввів поняття про головні напруження

,

а Пуассон ввів коефіцієнт .

Тобто, до фундаментальних понять про напруження і деформації людство йшло майже два століття, хоч впритул до цього наблизився Юнг і навіть близько був ще Галілей.

,

,

.

* Цікавою є історія становлення закону Гука. Знаний англійський учений Роберт Гук в 1660 р. сформулював, а в 1676 р. оприлюднив, і то у вигляді анаграми, таке: «яка деформація, таке і навантаження» (навіть не навпаки). Майже одночсасно з Гуком (1680 р.) і незалежно від нього цей закон сформулював француз Маріотт: «навіть найбільш тверді тіла – скло і залізо – деформуються пропорційно навантаженню». Тобто, , де P – навантаження, f – деформація стержня, k – коефіцієнт пропорційності. Розшифрування коефіцієнта k стало можливим через 130 років, коли англієць Томас Юнг у 1807 р. ввів поняття про модуль пружності Е, названий його ім’ям. Тепер можна було записати , де l – довжина стержня, F – площа поперечного перерізу, Е – модуль Юнга, Р – навантаження (сила). Юнг же і визначив значення Е для сталей, як 2·10⁵ МПа. У 1784 р. французький фізик Кулон сформулював закон Гука при скрученні стержня . У 1826 р. французький інженер (потім академік) А.Нав’є видав перший підручник з опору матеріалів, в якому ввів поняття про напруження (як силу, що діє на одиницю площі перерізу) і записав (через 150 років після оприлюднення закону Гука), а також отримав відому формулу для нормальних напружень при згині стержня . Згодом Нав’є ввів поняття про допустимі напруження, умову міцності, О.Коші – поняття про головні напруження і головні деформації, Пуассон ввів свій «коефіцієнт Пуассона». Таким чином, загальними зусиллями в основному цих трьох видатних французів закон Гука постав у закінченому вигляді «узагальненого закону Гука». Тобто, до фундаментальних понять про напруження і деформації людство йшло майже два століття, хоч до них впритул наблизився Юнг і, навіть, близько був ще Галілей (1564-1642).

Деформація .

Постановка крайової задачі механіки стержнів у зусиллях і переміщеннях.

Розглянемо балку.

- рівняння сумісності деформацій, . - рівняння рівноваги.

(*)

Граничні умови

Рис. 3.5

Будемо умовно вважати, що індексами «1» позначені точки, у яких задані силові характеристики ,

а індексами «2», відповідно, точки, у я ких задані кінематичні характеристики

.

Рівняння (_*) можна звести до одного рівняння і отримати постановку крайової задачі механіки стержнів у переміщеннях

.

При цьому

, .

Тоді граничні умови

, , .

 

 

Лекція 4

Лекція 5

Лекція 7

Приклад 2

Для форми це відома властивість дотичної до параболи. Для форми маємо і .

Доведення. З теореми Ейлера про однорідні функції

.

Отже, , щ.м.б.д.

Випадок багатьох змінних. Нехай тепер опукла функція векторного змінного (тобто квадратична форма позитивно визначена). Тоді перетворення Лежандра називається функція векторного змінного , що визначена аналогічними попередніми рівностями

,

.

Усі попередні міркування, в тому числі нерівність Юнга, без змін переносяться на цей випадок.

Отже, функції і , які пов’язані між собою перетворенням Лежандра є двоїстими за Юнгом.

Аналогічні висновки можна зробити і при нелінійній залежності .

 

Рис. 7.5 Рис. 7.6

, де – двоїсті за Юнгом функції.

Приклад 3

Робота зовнішніх сил

При цьому

Основна інтегральна формула (формула Гріна):

Тоді отримаємо

відомий вираз для теореми Клапейрона.

При (див. рис.)

При

 

Функції потенціальної енергії пружної деформації і додаткової енергії є двоїстими за Юнгом і пов’язані між собою перетворенням Лежандра. Умови екстремуму дають відповідно теореми:

Теорема Лагранжа	Теорема Кастільяно
Перша похідна від потенціальної енергії пружної деформації по узагальненому переміщення дорівнює відповідній узагальненій силі:	Перша похідна від додаткової потенціальної енергії по узагальненій силі дорівнює відповідному узагальненому переміщенню:

Другі похідні від потенціальної енергії пружної деформації по переміщенню і від додаткової потенціальної енергії по відповідній дорівнюють відповідно коефіцієнтам матриці жорсткості та матриці піддатливості.

Теорема Донкіна

Нехай задана деяка функція , гесіан якої відмінний від нуля:

(1)

і нехай існує перетворення змінних, викликане функцією :

. (2)

Тоді існує перетворення, зворотне до перетворення (2), яке теж породжено деякою функцією :

(3)

при цьому функція Y, що породжує функцію зворотного перетворення, пов’язана з функцією Х, що породжує пряме перетворення, формулою:

. (4)

Якщо функція включає параметри , тобто то Y теж включає ці параметри, тобто і

. (5)

Доведення. Гесіан функції X співпадає з якобіаном правих частин у рівнянні (2). Тому умова (1) показує, що з рівняння (2) показати змінні через :

.

Нехай функція виражена формулою (4), в якій змінні замінені виразами (15). Тоді

.

Але згідно рівняння (2), два доданки, які знаходяться в правій частині цього рівняння, взаємознищуються і отже має місце формула (3).

Нехай тепер X включає окрім змінних ще і параметри . Тоді ці параметри є в прямому перетворенні(2), а значить і в зворотному:

.

Функція Y визначається рівністю (13), де замінені на , тому

.

Теорема Донкіна доведена.

Приклад 4

Центральний розтяг стержня силою Р.

Рис. 7.8

При деформації і, відповідно, ,

можна отримати рівняння рівноваги і сумісності деформацій .

Теорема Донкіна

Якщо дві двоїстості за Юнгом функції напружень і залежать від одного і того ж параметра або групи параметрів, який не є активними, тобто не приймають участі у перетворенні Лежандра (), то має місце залежність:

У загальному випадку теореми Лагранжа і Кастільяно дають:

 

В будівельній механіці функції потенціальної енергії пружної деформації і додатковою потенціальної енергії є позитивно визначеними квадратичними формами. Вони є двоїстими за Юнгом функціями і пов’язані між собою перетворенням Лежандра. Перетворення Лежандра є частинним випадком нерівності Юнга-Фенхеля і за фізичним змістом являє собою рівність робіт внутрішніх і зовнішніх сил, тобто відповідає теоремі Клапейрона. Екстремуми двоїстих функцій пружної деформації і додаткової енергії дають теореми Лагранжа і Кастільяно, та призводять до систем лінійних алгебраїчних рівнянь матриці яких (матриці жорсткості і матриці піддатливості) є відповідно матрицями Гессе або матрицями других похідних відповідно від потенціальної енергії пружної деформації (матриця жорсткості) і додаткової потенціальної енергії (матриця піддатливості). Вони (матриці) є позитивно визначеними і задовольняють критеріям Сильвестра, тобто усі їх головні мінори є позитивно визначені. Вони є взаємно оберненими.

 

Лекція 8

Перетворення Лежандра

Рис. 8.9

Принцип Лагранжа-Дирихле

Для консервативної системи стійка, нестійка, байдужа рівновага мають місце відповідно:

		min max const

Теорема Клапейрона

Відповідні екстремальні значення функціоналів Лагранжа і Кастільяно співпадають.

Варіаційні рівняння функціоналів Лагранжа і Кастільяно утворюють так звану пару двоїстих задач варіаційного числення, коли попередні умови однієї задачі є природними умовами іншої і навпаки. Під природними умовами розуміються умови, яким задовольняють відповідні варіаційні рівняння.

За допомогою методу множників Лагранжа можна “поміняти місцями” додаткові і природні умови, тобто із функціонала Лагранжа отримати функціонал Кастільяно і навпаки. Таке перетворення у варіаційному численні має назву перетворення Фрідріхса. Зазначимо, що екстремальні значення функціоналів Лагранжа і Кастільяно, а також усіх функціоналів, які отримані за допомогою множників Лагранжа співпадають.

Лекція 9

Лекція 10

Приклад

Задаємо w у вигляді ряду:

,

де - відомі функції, які задовольняють граничним умовам:

Запишемо їх у вигляді таблиці:

		6 х

 

Обчислимо відповідні коефіцієнти матриці алгебраїчних рівнянь (матриці жорстк