Приклади реалізації принципів Лагранжа і Кастільяно.

Розглянемо розв'язання задачі згину балки (рис. 8.6), яка має кінематичне навантаження у вигляді просідання правої опори на величину , користуючись принципами

Лагранжа	Принцип Кастільяно
Рис. 8.6
Функціонал Лагранжа для даної задачі має вигляд:	Функціонал Кастільяно для даної задачі має вигляд:
Додаткові умови	Додаткові умови , або
Задаємо функцію прогину у вигляді ряду: Тоді	Задаємо функцію у вигляді ряду: який задовольняє статичним граничним умовам і умові рівноваги
Реалізація граничних умов дає: , , , , , Звідси і
Тоді	Тоді
Принцип Лагранжа	Принцип Кастільяно
Інтегруючи і розв’язуючи відповідне рівняння, отримаємо Тоді	Ураховуючи, що Рівняння методу сил має вигляд
Екстремальне значення функціо-нала Лагранжа дорівнює а залежність від показана на рис. 8.7, а.	Екстремальне значення функціо-нала Кастільяно дорівнює Оскільки Це є максимум, а залежність від x показана на рис. 8.7, б.
а	б
Рис. 8.7

Таким чином екстремальні значення функціоналів Лагранжа і Кастільяно співпадають.

Функціонал Лагранжа інколи називається повною потенціальною енергією системи і дорівнює сумі потенціальної енергій пружної деформації і роботи зовнішніх сил.

.

При цьому потенціальна енергія пружної деформації ототожнюється з роботою внутрішніх сил і є позитивною. Робота зовнішніх сил обчислюється як добуток сили на відповідне переміщення (без коефіцієнту ½) і вважається негативною. Функціонал Лагранжа або повна потенціальна енергія інколи трактується як енергія, яка витрачається при переході системи від деформованого стану до первісного.

Перетворення Лежандра

Рис. 8.9

Принцип Лагранжа-Дирихле

Для консервативної системи стійка, нестійка, байдужа рівновага мають місце відповідно:

		min max const

Приклади. Теорема Кастільяно

,

.

, тобто при .

Теорема Клапейрона

Відповідні екстремальні значення функціоналів Лагранжа і Кастільяно співпадають.

Варіаційні рівняння функціоналів Лагранжа і Кастільяно утворюють так звану пару двоїстих задач варіаційного числення, коли попередні умови однієї задачі є природними умовами іншої і навпаки. Під природними умовами розуміються умови, яким задовольняють відповідні варіаційні рівняння.

За допомогою методу множників Лагранжа можна “поміняти місцями” додаткові і природні умови, тобто із функціонала Лагранжа отримати функціонал Кастільяно і навпаки. Таке перетворення у варіаційному численні має назву перетворення Фрідріхса. Зазначимо, що екстремальні значення функціоналів Лагранжа і Кастільяно, а також усіх функціоналів, які отримані за допомогою множників Лагранжа співпадають.

Лекція 9