Прямі методи варіаційного числення. Поняття про прямі методи. Принципові схеми методу Рітца, узагальненого методу Бубнова-Гальоркіна, методу Бубнова-Гальоркіна, методу Треффца

Поняття про прямі методи.

1) ,

2) ,

де – відомі функції, які задовольняють певним умовам, наприклад, граничним, – невідомі .

3) ,

4) , , .

Суть прямих методів варіаційного числення полягає у тому, що за допомогою розкладу 2) задача про екстремум функціонала 1) зводиться до задачі про екстремум функції багатьох змінних 3), яка розв’язується традиційним методом 4) і призводить до системи алгебраїчних рівнянь відносно невідомих , а потім здійснюється граничний перехід до вихідної задачі.

Основні підходи прямих методів.

, .

,

I. w обрані таким чином, що не усі граничні умови задовольняються:

Тоді застосовується звичайна процедура методу Рітца:

1.1 , або у розгорнутому вигляді

1.2

,

(♦)

Таким чином, отримали вираз (♦), який являє собою систему алгебраїчних рівнянь, після розв’язку яких знаходимо невідомі a ₁ ,a ₂ ,... a_i … a_n, які містяться у виразах для відповідних похідних , .

Наприклад, якщо

, , ,

а

, .

Такий підхід має назву узагальненого методу І.Г.Бубнова-Б.Г.Гальоркіна.

II. підібрані таким чином, що усі граничні умови задовольняються, тоді:

, а вираз дає систему алгебраїчних рівнянь:

,

,

з якої знаходяться невідомі коефіцієнти a ₁ ,a ₂ ,... a_i … a_{n .}. Такий підхід має назву методу І.Г.Бубнова - Б.Г.Гальоркіна.

 

III. Метод Треффца.

Функції підібрані таким чином, що вони задовольняють диференціальним рівнянням Ейлера, тобто:

.

Тоді вираз дає систему алгебраїчних рівнянь

,

з якої знаходяться невідомі a ₁ ,a ₂ ,... a_i … a_{n .} .

Такий підхід має назву метод Треффца, який запропонував його 1 926 р., а у 1933 р. він був застосований Л.С.Лейбензоном.

Таким чином, найбільш загальними є методи Рітца і узагальнений метод Бубнова-Гальоркіна, які не потребують задовільняння усім граничним умовам, що значно розширює можливості при виборі системи базисних функцій . Метод Бубнова-Гальоркіна і метод Треффца з цієї точку зору є частиними випадками, відповідно, при і Разом з тим, слід мати на увазі, що метод Бубнова-Гальоркіна безпосередньо не пов’язаний із варіаційним численням і може розглядатись як метод розв’язування диференціальних рівнянь і відноситься до так званих проекційних методів або методів ортогоналізації

 

Лекція 10

Канонічні рівняння методу Рітца для функціонала Лагранжа. Приклад.

Повна потенціальна енергія системи дорівнює

,

де – потенціальна енергія пружної деформації,

,

робота зовнішніх сил (рис. 10.1).

Застосуємо загальну процедуру методу Рітца

Тоді

Отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

де невідомі – , коефіцієнти матриці , вектор навантажень –

.

Приклад

Задаємо w у вигляді ряду:

,

де - відомі функції, які задовольняють граничним умовам:

Запишемо їх у вигляді таблиці:

		6 х

 

Обчислимо відповідні коефіцієнти матриці алгебраїчних рівнянь (матриці жорсткості):

,

,

Вектор навантажень ,

Система алгебраїчних рівнянь має вигляд:

Якщо у вихідному розкладі взяти лише один член ,

.

Точний розв’язок

.

Відповідно, два члени ,

,

(точний розв’язок).

Такий же результат отримаємо і при наявності розкладу , оскільки

, .

 

Лекція 11