Независимые испытания с несколькими исходами.

 

Рассмотрим следующий пример, когда из двух очень похожих вопросов на один можно ответить, пользуясь формулой Бернулли, а для другого этой формулы оказывается недостаточно:

Пример. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти вероятности следующих событий:

а) выпадет ровно 10 шестерок;

б) выпадет ровно 10 шестерок и три единицы.

Решение:

а) есть 15 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 1/6 (выпадение шестерки). Вероятность десяти успехов в 15 испытаниях равна С ;

б) здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение шестерки, выпадение единицы, выпадение остальных граней. Воспользоваться формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удается - перед нами уже не схема Бернулли.

Выведем формулу для подсчета вероятности каждому исходу в нескольких независимых испытаниях выпасть нужное число раз, если в одном испытании возможно не два, а более исходов.

Пусть в одном испытании возможны m исходов. Обозначим их цифрами 1,2,...,m. Пусть исход i в одном испытании случается с вероятностью p_i, 1≤i≤ m, u =1.

Обозначим через P (n₁,..., n_m) вероятность того, что в n=n₁+...+n_m независимых испытаниях исход 1 появился n₁ раз, исход 2 - n₂ раз,..., исход m - n_m раз.

Теорема. Для любого п и любых целых n₁ ≥0,..., п_т ≥0 таких, что n₁ +… +п_т = п, верна формула:

P (n₁,…, п_т)= .

Доказательство.Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению п₁ единиц, п₂ двоек,..., п_т раз т -ок:

().

Это результат п экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата п независимых испытаний равна .

Все остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел 1,2,...,т на п местах. Число таких исходов равно числу способов расставить на п местах п₁ единиц, n₂ двоек,..., п_т чисел т, то есть

C C C …C =

Вернемся к решению примера (б) и выпишем ответ: так как вероятности выпадения шестерки и единицы равны 1/6, а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна 4/6, то вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и еще 2 других очка равна

Р(10,3,2)= · .

 

§11. Предельные теоремы для схемы Бернулли

 

Предположим, нам нужна вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Вероятность этого события равна любому из следующих выражений:

(0,003)^k(0,997)^1000-k=1- (0,003)^k(0,997)^1000-k,

Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха. Термин «большое число» должен означать п . Если при этом р = р_п→0, то, очевидно, вероятность получить любое конечное число успехов при растущем числе испытаний стремится к нулю. Необходимо чтобы вероятность успеха р = р_п 0 одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (по определению схемы Бернулли).

Поэтому рассмотрим «схему серий»: есть

одно испытание о с вероятностью успеха р₁

два испытания о,о с вероятностью успеха р₂

_……

п испытаний о,...,о с вероятностью успеха р_п

_{… …}

Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний. Обозначим через ν_n число успехов в n -й серии испытаний.

Теорема Пуассона. Пусть п , р_п 0 так, что пр_п λ > 0. Тогда для любого k ≥ 0 вероятность получить k успехов в п испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р_п стремится к величине :

Р ( = k)= при п , р_п 0 так, что пр_п λ > 0.

Доказательство.Положим λ_п = п∙р_п λ > 0. Причем - при фиксированном k и при п . Тогда

= ~ .

При выводе мы использовали, что и . В самом деле, для последнего соотношения будет выполняться:

ln = n ln = n -λ.

 

Пользуясь теоремой Пуассона, можно приближенно посчитать вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Поскольку п = 1000 «велико», а р_п = 0,003 «мало», то, взяв λ= пр_п = 3, можно написать приближенное равенство

1- (0,003)^k(0,997)^1000-k ≈1- = ≈0,001.

 

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если п = 50, k = 30, р = 0,1, то для отыскания вероятности Р₅₀(30) надо вычислить выражение Р₅₀(30)=50!/(30!20!)·(0,1)³⁰·(0,9)²⁰, где 50!=30414093·10⁵⁷, 30!=26525286·10²⁵, 20!=24329020·10¹¹. Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов, факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в п испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Заметим, что для частного случая, а именно для р = 1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного р, отличного от 0 и 1. Поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра—Лапласа.

Приведем формулировку теоремы и примеры, иллюстрирующие ее использование.

 

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_п(k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции

y = · = · (x)

при x =(k-np)/ .

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции (x)= , соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция (x) четна, то есть (- x)= (x).

Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

P_n (k)≈ · (x),

где x =(k - np)/ .

Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию n=400;k=80;р=0,2;q=0,8. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

P₄₀₀(80)≈ · (x)= · (x).

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

x=(k-np)/ =(80-400·0,2)/8=0.

По таблице находим (0)=0,3989.

Искомая вероятность

P₄₀₀(80)=(1/8)·0,39989=0,04986.

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату:

Р₄₀₀(80)=0,0498.

Пример. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р=0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

Решение. По условию n=10;k=8;р=0,75;q=0,25. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

P₁₀(8)≈ · (x)=0,7301· (x).

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

x= = ≈0,36.

По таблице находим (0,36)=0,3739.

Искомая вероятность

Р₁₀(8)=0,7301·0,3739=0,273.

Формула Бернулли приводит к иному результату, а именно Р₁₀(8)=0,282. Столь значительное расхождение ответов объясняется тем, что в настоящем примере п имеет малое значение (формула Лапласа дает достаточно хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях п).

 

Предположим, что производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0<р<1). Вычислим вероятность Р_п (k _l, k ₂) того, что событие А появится в п испытаниях не менее k _l и не более k ₂ раз (для краткости будем говорить «от k₁ до k₂ раз»). Для этого сформулируем интегральную теорему Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_п(k₁,k₂) того, что событие А появится в п испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу

Р_п (k _l, k ₂) ,

где х’ =(k ₁- np)/ и х ”=(k ₂- np)/ .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. В этих таблицах даны значения функции Ф (х)= для положительных значений х и для х=0; для х<0 пользуются той же таблицей (функция Ф (х) нечетна, то есть Ф (- х)=- Ф (х)). В таблицах приведены значения интеграла лишь до х=5, так как для х>5 можно принять Ф(х)=0,5. Функцию Ф (х) часто называют функцией Лапласа.

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем данное соотношение так:

Р_п(k₁,k₂) + =

= - =Ф(х”)-Ф(х’).

Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от k ₁ до k ₂ раз,

Р _п (k ₁, k ₂) Ф (х ")- Ф (х’),

где х’ =(k ₁- np)/ и х” =(k ₂- np)/ .

Приведем примеры, иллюстрирующие применение интегральной теоремы Лапласа.

Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р=0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию р=0,2;q=0,8;п=400;k₁=70;k₂=100. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Р₄₀₀(70,100)≈Ф(х”)-Ф(х’).

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

x’= = =-1,25;

x”= = =2,5.

Таким образом, имеем

Р₄₀₀(70,100)=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=Ф(2,5)+Ф(1,25).

По таблице функции Лапласа находим:

Ф(2,5)=0,4938; Ф(1,25)=0,3944.

Искомая вероятность

Р₄₀₀(70,100)=0,4938+0,3944=0,8882.

 

Обозначить через т число появлений события А при п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна и равна р. Если число т изменяется от k ₁ до k ₂, то дробь (т - np)/ изменяется от (k ₁- np)/ = х’ до (k ₂- np)/ = х ”. Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать и так:

Р (х’ ≤ ≤ х”) .