Вероятность попадания случайной точки в полуполосу. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Вероятность попадания случайной точки в полуполосу.



 

Используя функцию распределения системы случайных величин ξ и η, легко найти вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадает в полу полосу х1 < ξ < х2, η < y (рис.13а) или в полуполосу ξ < х и y1 < η < y2 (рис.13б).

 

Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной (х2; y) вероятность попадания точки в квадрант с вершиной (х1; y)(рис.13а), получим

Р (х1ξ < х2, η < y)= F (х2, y)- F (х1, y).

Аналогично имеем Р (ξ < х, y1η < y2)= F (х, y2)- F (х, y1).

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

 

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник.

 

Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными координатным осям. Пусть уравнения сторон таковы:

ξ=x1, ξ=x2, η=y1 и η=y2.

Найдем вероятность попадания случайной точки (ξ; η) в этот прямоугольник. Искомую вероятность можно найти, например, так из вероятности попадания случайной точки в полу полосу АВ с вертикальной штриховкой (эта вероятность равна F (х2, y2)- F (х1, y2))вычесть вероятность попадания точки в полуполосу CD с горизонтальной штриховкой (эта вероятность равна F (х2, y1)- F (х1, y1)):

Р (х1ξ < х2, y1η < y2)=[ F (х2, y2)- F (х1, y2)]–[ F (х2, y1)- F (х1, y1)].

Пример. Найти вероятность попадания случайной точки (ξ; η) в прямоугольник, ограниченный прямыми х=π/6,х=π/2,у=π/4,у=π/3, если известна функция распределения

F (x, y)=sin x sin y (0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2).

Решение. Положив х1=π/6, х2=π/2, у1=π/4, у2=π/3, получим

Р(π/6<ξ<π/2, π/4<η<π/3)=[F(π/2,π/3)-F(π/6,π/3)]-[F(π/2,π/4)-F(π/6, π/4)]=

=[sin(π/2) sin(π/3)-sin(π/6) sin(π/3)]-[sin(π/2) sin(π/4)-sin(π/6) sin(π/4)]=

=[ /2- /4]-[ /2- /4]=( - )/4=0,08.

 

§19. Двумерная плотность

 

Двумерная случайная величина задается с помощью функции распределения. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Будем предполагать, что функция распределения F (х, у) всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную частную производную второго порядка.

Определение. Плотностью совместного распределения вероятностей f (x, у) двумерной непрерывной случайной величины (ξ, η) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

f (x, у)= .

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Пример. Найти плотность совместного распределения f (x, у) системы случайных величин (ξ, η) по известной функции распределения

F(х,у)=sinх sinу (0≤х≤π/2, 0≤у≤π/2).

Решение. По определению плотности совместного распределения,

f (x, у)= .

Найдем частную производную по х от функции распределения:

=cos х sin у.

Найдем от полученного результата частную производную по у, в итоге получим искомую плотность совместного распределения:

f(x,у)= =cosх cosу (0≤х≤π/2, 0≤у≤π/2).



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-21; просмотров: 310; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.54.111.228 (0.005 с.)