Вычисление вероятности заданного отклонения. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Вычисление вероятности заданного отклонения.



 

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины ξ по абсолютной величине меньше заданного положительного числа δ, то есть требуется найти вероятность осуществления неравенства - а |<δ.

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

-δ< ξ - a <δ, или а<ξ<а+ δ. Тогда получим

Р(|ξ–а|<δ)=Р(а-δ<ξ<а+δ) =

.

Приняв во внимание равенство

Ф (-δ/ σ)=- Ф (δ/ σ)

(функция Лапласа - нечетная), окончательно имеем

Р (| ξ–а|< δ)= (δ/ σ).

В частности, при а=0

Р (| ξ|< δ)= (δ/ σ).

На рисунке наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а=0, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (-δ,δ), больше у той величины, которая имеет меньшее значение σ. Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра σ (σ есть среднее квадратическое отклонение; оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания).

Замечание. Очевидно, события, состоящие в осуществлении неравенств | ξа | < δ и | ξа |≥δ, - противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенства | ξа | < δ равна р, то вероятность неравенства | ξа |≥δ равна 1 - р.

Пример. Случайная величина ξ распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ξ соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

Решение. Воспользуемся формулой

Р (| ξ–а|< δ)= (δ/ σ).

По условию, δ=3, а=20, σ=10. Следовательно,

Р(|ξ-20|<3)=2Ф(3/10)=2Ф(0,3).

По таблице функции Лапласа находим Ф(0,3)=0,1179. Искомая вероятность

Р(|ξ—20|<3)=0,2358.

 

Правило трех сигм.

 

Преобразуем формулу

Р(|ξ–а|<δ)=2Ф(δ/σ),

положив δ=σt. В итоге получим

Р(|ξ–а|<σt)=2Ф(t),

Если t = 3 и, следовательно, σt=3σ, то

Р(|ξ–а|<3σ)=2Ф(3)=2·0,49865=0,9973,

то есть вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

 

§27. Функции случайных величин

 

Определение. Если каждому возможному значению случайной величины ξ соответствует одно возможное значение случайной величины η, то η называют функцией случайного аргумента ξ:

η = φ (ξ).

Далее показано, как найти распределение функции по известному распределению дискретного и непрерывного аргумента.

1. Пусть аргумент ξ - дискретная случайная величина.

а) Если различным возможным значениям аргумента ξ соответствуют различные возможные значения функции η, то вероятности соответствующих значений ξ и η между собой равны.

Пример. Дискретная случайная величина ξ задана распределением

 

ξ    
P 0,6 0,4

 

Найти распределение функции η=ξ2.

Решение. Найдем возможные значения η: у1=22=4;у2=32=9. Напишем искомое распределение η:

 

η    
P 0,6 0,4

 

б) Если различным возможным значениям ξ соответствуют значения η, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений η.

2. Пусть аргумент ξ - непрерывная случайная величина. Найдем распределение функции η = φ (ξ), зная плотность распределения случайного аргумента ξ. Доказано: если у = φ (х) - дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой х=ψ (у), то плотность распределения g (y) случайной величины η находится с помощью равенства

g(y)=f[ψ(у)] |ψ´(у)|.

Пример. Случайная величина ξ распределена нормально, причем ее математическое ожидание а = 0. Найти распределение функции η=ξ3.

Решение. Так как функция у = х3 дифференцируема и строго возрастает, то можно применить формулу

g(y)=f[ψ(у)] |ψ´(у)|.

Найдем функцию, обратную функции у = х3:

ψ (у) = y1/3.

Найдем f[ψ(у)]. По условию,

f (x)= ,

поэтому

f[ψ(у)]=f[y1/3]= .

Найдем производную обратной функции по у:

ψ ´(у)=(y1/3)´= .

Найдем искомую плотность распределения:

g (y)= .

Пользуясь данным соотношением можно доказать, что линейная функция η=Aξ+B нормально распределенного аргумента ξ также распределена нормально, причем для того чтобы найти математическое ожидание η, надо в выражение функции подставить вместо аргумента ξ его математическое ожидание а:

М(η)=Аа+В;

для того чтобы найти среднее квадратическое отклонение η, надо среднее квадратическое отклонение аргумента ξ умножить на модуль коэффициента при ξ:

σ(η)=|A|σ(ξ).

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-21; просмотров: 371; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.81.33.119 (0.009 с.)