Значение теоремы Чебышева для практики. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Значение теоремы Чебышева для практики.



Приведем примеры применения теоремы Чебышева к решению практических задач.

Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. При каких условиях этот способ измерения можно считать правильным? Ответ на этот вопрос дает теорема Чебышева (ее частный случай).

Действительно, рассмотрим результаты каждого измерения как случайные величины ξ1, ξ2,..., ξn. К этим величинам можно применить теорему Чебышева, если: 1) они попарно независимы, 2) имеют одно и то же математическое ожидание, 3) дисперсии их равномерно ограничены.

Первое требование выполняется, если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных. Второе требование выполняется, если измерения произведены без систематических (одного знака) ошибок. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны истинному размеру а. Третье требование выполняется, если прибор обеспечивает определенную точность измерений. Хотя при этом результаты отдельных измерений различны, но рассеяние их ограничено.

Если все указанные требования выполнены, мы вправе применить к результатам измерений теорему Чебышева: при достаточно большом п вероятность неравенства

|(ξ12+...+ξn) /п - a |< ε

как угодно близка к единице. Другими словами, при достаточно большом числе измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое как угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины.

Итак, теорема Чебышева указывает условия, при которых описанный способ измерения может быть применен. Однако ошибочно думать, что, увеличивая число измерений, можно достичь сколь угодно большой точности. Дело в том, что сам прибор дает показания лишь с точностью ± α; поэтому каждый из результатов измерений, а следовательно, и их среднее арифметическое будут получены лишь с точностью, не превышающей точности прибора.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

Уже из приведенных примеров можно заключить, что для практики теорема Чебышева имеет неоценимое значение.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события?

Теорема (Бернулли). Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если ε - сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

P(|т/п—р|<ε)=1.

Доказательство. Обозначим через ξ1 дискретную случайную величину - число появлений события в первом испытании, через ξ2 - во втором,..., ξп - в n -м испытании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью 1–p=q.

Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины попарно независимы и дисперсии их ограничены. Оба условия выполняются. Действительно, попарная независимость величин ξ1, ξ2,..., ξn следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины ξ i (i=1,2,...,п) равна произведению pq; так как p+q=1,то произведение pq не превышает 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С=1/4.

Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рассматриваемым величинам, имеем

P(|(ξ12+...+ξn)/п-a|<ε)=1.

Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин ξi (то есть математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности р наступления события, получим

P(|(ξ12+...+ξn)/п-p|<ε)=1.

Остается показать, что дробь (ξ12+...+ξn) /п равна относительной частоте т / п появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин ξ1, ξ2,..., ξn при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма ξ12+...+ξn равна числу т появлений события в п испытаниях, а значит,

(ξ12+...+ξn) /п = т / п.

Учитывая это равенство, окончательно получим

P(|m/п-p|<ε)=1.

 

§31. Характеристические функции

 

Используем обозначения: i = - мнимая единица, t - вещественная переменная, eit =cos t + i sin t - формула Эйлера, M (η + )= + iMζ - способ вычисления математического ожидания комплекснозначной случайной величины η + , если математические ожидания ее действительной (η) и мнимой (ζ) частей существуют.

Модулем комплексного числа z = х + называется |z|= , так что |eit|=1.

Определение. Функция φξ (t)= Meitξ называется характеристической функцией случайной величины ξ.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром р. Ее характеристическая функция равна

φξ(t)=Meitξ=eit∙0Р(ξ=0)+eit∙1Р(ξ=1)=1–р+рeit.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами п и р. Ее характеристическая функция равна

φξ(t)=Meitξ= = = =(1-р+рeit)n.

Последнее равенство является биномом Ньютона.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ. Ее характеристическая функция равна

φξ(t)=Meitξ= = =

= = exp{λ(eit-1)}.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром α. Ее характеристическая функция равна

φξ (t)= Meitξ = = = =

= = ,

поскольку при х→∞ модуль величины е ( α - it )= e-αx·eitx стремится к нулю: -х(α-it)|=e-αx→0.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Ее характеристическая функция равна

φξ(t)= = =

= = .

При интегрировании мы выделили полный квадрат в показателе экспоненты и учли, что интеграл по всей прямой от функции =1.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-21; просмотров: 238; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.198.108.174 (0.009 с.)